3\cdot7\cdot37=777. Van még ilyen számhármas?

Írhattad volna nyugodtan érthetőbb formában:

3 * 7 * 37 = 777

Általánosítva tehát:

a * b * c = d

ahol

c = 10*a + b

Legyen a <= b . (Ezt a kikötést nyugodtan megtehetjük, hiszen a szorzás kommutatív művelet.) Természetesen ebben az esetben foglalkozni kell a c = 10*b + a esettel is.

Ebben az esetben d egy olyan szám, ami a darab számjegyből áll, a számjegyek mind „b”-nek felelnek meg. (Ha a és b egyjegyű.)

Nézzük meg, mi a helyzet, ha a=5, mi a legnagyobb a * b * c szorzat, ami elképzelhető? Ez:

5 * 9 * 95 = 4275

Ez csak négyjegyű, úgyhogy a nem lehet 5, vagy annál nagyobb szám.

Nézzük meg mi a helyzet, ha a=2, mi a legkisebb a * b * c szorzat:

2 * 2 * 22 = 88

Ez még kétjegyű ugyan, de d=22 lenne, aminél a szorzat jóval nagyobb. A következő:

2 * 3 * 23 = 138

Innen tehát minden szorzat háromjegyű lenne, ami miatt kijelenthető, hogy a nem lehet 2 vagy kisebb.

Tehát a∈(3,4).

Nézzük meg kicsit d-t. Ha a = 3, akkor d = \overline{bbb} = 111 * b = 3 * 37 * b

Tehát ha d háromjegyű, akkor kell valahol az a*b*c szorzatban lennie egy 37-tel való szorzásnak. Mivel a és b nem lehet, ezért kizárólag c lehet 37, ami egyben megadja a-t és b-t is. 3 * 7 * 37 = 777. Ez eleget tesz a feltételnek, tehát ha a=3, akkor csak ez az egy megoldás van.

Ha a=4, akkor d=\overline{bbbb} = 1111 * b = 11 * 101 * b

Itt két darab nem egyjegyű prímtényezőről van szó, tehát ilyen megoldás nem létezhet, hiszen a és b is egyjegyű.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Más számrendszerek:

Ha a számrendszer alapja s, akkor én megnézném, hogy a 11_(s), 111_(s), 1111_(s), 11111_(s), stb… számok hogy írható fel prímtényezős alakban. De ez lehet kicsit hosszadalmas lenne. Meg bizonyára lehetne más támpontokat találni még, de ilyenkor egy jó informatikus elővesz egy programnyelvet, és ír egy programot rá. :-)

Ebből kiderül, hogy 60-as számrendszer alatt nincs más megoldás. Gondolom innen relatíve könnyű lenne tovább kutakodni, de erre most már nincs elég időm. :-)