Hány valós számhármas elégíti ki az egyenletrendszert?

A feladat

xy = 1

x + y - √(1 - z²) = -2

egyenletrendszer valós megoldásainak meghatározása

Kicsit átrendezve

x + y + 2 = √(1 - z²)

Az elsőből

y = 1/x

az előzőbe behelyettesítve

x + 1/x + 2 = √(1 - z²)

Mindkét oldalt x-szel szorozva

x² + 2x + 1 = x*√(1 - z²)

Valós megoldáshoz a gyök alatti mennyiség

1 - z² ≥ 0

1 ≥ z²

1 ≥ |z|

értékű lehet.

Legyen

√(1 - z²) = n

ahol n ≤ 1

Ezzel az egyenlet

x² + 2x + 1 = x*n

rendezve

x² + x(2 - n) + 1 = 0

Elég a diszkriminánst vizsgálni

D = (2 - n)² - 4

Mivel a

(2 - n)² < 4 minden n > 0 értékre, egyedül az

n = 0 esetén van valós gyök.

Ez pedig az

x = -1

====

Ezzel

y = -1

=====

és

z = 1

====

Az én gondolatmenetem szerint ez az egyedüli számhármas, ami kielégíti az eredeti egyenletet.

DeeDee

***************