Hánz pitagoraszi számhármas van 200-ig az 5,4,3 többszörösein kivül?

[link]

Itt megkaphatod a választ a kérdésedre.

Íme a lista azon pitagoraszi számhármasokról, ahol a és b relatív prímek, valamint c<200:

5 , 12 , 13

8 , 15 , 17

7 , 24 , 25

20 , 21 , 29

12 , 35 , 37

28 , 45 , 53

11 , 60 , 61

16 , 63 , 65

48 , 55 , 73

13 , 84 , 85

36 , 77 , 85

20 , 99 , 101

60 , 91 , 109

44 , 117 , 125

17 , 144 , 145

24 , 143 , 145

52 , 165 , 173

19 , 180 , 181

104 , 153 , 185

28 , 195 , 197

Tehát ezek vannak a 3,4,5-ön kívül, illetve ezek többszörösei, mint:

2*5 , 2*12 , 2*13 => 10 , 24 , 26

3*5 , 3*12 , 3*13 => 15 , 36 , 39

…

2*8 , 2*15 , 2*17 => 16 , 30 , 34

3*8 , 3*15 , 3*17 => 24 , 45 , 51

…

És hogy hogyan lehet ezeket megtalálni?

Nézzük meg két egymás melletti négyzetszám különbségét:

(a+1)*(a+1) - a*a = a*a + 2a - 1 - a*a = 2a - 1

Tehát 4 négyzete 2*4-1 -el több, mint 3 négyzete. (16-9) = 7 = 2*4-1.

A négyzetszámok közötti különbségek kettesével nőnek.

Máshogy megfogalmazva ha sorra vesszük a négyzetszámokat:

1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225

akkor a közöttük lévő különbség:

3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29

Ezekből a különbségekből csak ki kell mazsolázni azokat, amelyek négyzetszámok, mint: 9,25

Ha a különbség négyzetszám, akkor a két egymás melleti négyzetszám és a különbségük ugye pitagoraszi számhármas négyzetei. 9 a különbség a 25 és 16 között, ami a 3,4,5 pitagoraszi számhármas négyzetei. 25 a különbség a 169 és 144 között, tehát ezek az 5, 12, 13 pitagoraszi számhármas négyzetei.

Ilyen módon megkapjuk azokat a pitagoraszi számhármasokat, ahol c=b+1

* * * * * * *

Aztán léphetünk kettesével is. Egy négyzetszám és a kettővel őt megelőző négyzetszám különbsége:

(a+2)*(a+2) - a*a = a*a + 4a + 4 - a*a = 4a + 4

Tehát 25-9 = 16 = 4*3+4. A különbségek 4-esével nőnek.

Tehát újra írjuk fel a négyzetszámokat, és egy másik sorozatot, ami a kettővel őt követő négyzetszámhoz képesti különbséget írja le:

1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,…

(9-1) = 8

(16-4) = 12

(25-9) = 16

(36-16) = 20

8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64

Hasonló módszerrel itt is kiválaszthatjuk a négyzetszámokat: 16,36,64

Itt is csak meg kell nézni, hogy az adott négyzetszám melyik másik két négyzetszám különbségét jelenti. 25-9=16. Tehát ezek mind négyzetszámok, az 3,4,5 pitagoraszi számhármas négyzetei. 100-64=36. Ezek a 6,8,10 pitagoraszi számhármas négyzetei (ami a 3,4,5 többszöröse). 289-225=64. Ezek a 8,15,17 pitagoraszi számhármas négyzetei.

Ilyen módon megkapjuk azokat a pitagoraszi számhármasokat, ahol c=b+2

stb…

Egyébként most találtam ki az eljárást, eddig nem ismertem. Viszont jobban megnézve ez egyben bizonyíték arra, hogy:

1. Végtelen számú olyan pitagoraszi számhármas van, ahol a és b relatív prímek.

2. Nincs olyan pitagoraszi számhármas, ahol mindhárom szám prímszám lenne.