Bizonyítsuk be ha x+y+z=0 akkor x3+x2z+y2z+xyz+y3=0? muszáj lenn emegmagyaráznom ezen múlik h bukok e vagy nem

persze hogy lehet, mert ha mindegyik csak pozitív lehet, akkor az összegük nem lehet 0

de itt valami kiemelést kell csinálni, még filózok rajta

Úgy gondoltam, hogy x,y,z=0, tehát innen már egyértelmű, ha nem lehet negatív.

Most így második ránézésre azon is elgondolkoztam, hogy x3 vagy x^3 van a feladatban.

Szerintem el van rontva a feladat, -xyz-nek kéne ott lennie, akkor így jön ki:

(hatvány jele általában ^ )

z-t emeljünk ki

x^3+z*(x^2+y^2-xy)+y^3

0=x+y+z, akkor

z=-(x+y)

x^3+z*(x^2+y^2-xy)+y^3=x^3-(x+y)*(x^2+y^2-xy)+y^3=

bontsuk fel a zárójelet

x^3-x^3-xy^2+x^2y-yx^2-y^3+xy^2+y^3 =0

mert minden tag kiesik.

Tényleg csak -xyz-vel jön ki, bár én másképp vezetném le a példát, belekevernék egy nevezetes azonosságot:

x^3+x^2z+y^2z-xzy+y^3 =

= x^3+y^3+z(x^2-xy+y^2) =

= (x+y)(x^2-xy+y^2)+z(x^2-xy+y^2) =

= (x+y+z)(x^2-xy+y^2) =

= 0, hiszen a szorzás egyik tényezője, az x+y+z nullának felel meg, ezt kikötöttük az elején.