Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös?

Ugye az igaz, hogy

a=(a;b)*x

b=(a;b)*y

A közös tényezőket tartalmazza LNKO és a maradékot x és y.

a+b=(a;b)*(x+y)

Eszerint x+y=36

és

[a;b]=(a;b)*x*y

Ez azért van így, mert a közös prímtényezők benne vannak (a;b)-ben a nem közöseket meg x és y tartalmazza, aminek az LKKT-ban még benne kell lennie.

Most segíthet egy pici trükk:

A két szám összege osztható 4-el. De az LNKO-ban csak egy 2-es prímtényező van. Ezért ez csak úgy lehet, ha mindkét szám páros, de nem osztható 4-el.

x,y-ben tuti nincs 2-es faktor. De x+y=36. Két páratlan szám összege 36, és csak az 5,5,7,11 faktorokból állhatnak.

Ez csak a 25+11 lehet.

Ezzel kész is vagyunk, mert

x=25

y=11

(a;b)-ben van a többi faktor 2*7=14

A két szám: 350 és 154.

A többit majd megpróbálom később. Úgy látom, hogy mindhez kell ez a felírás:

a=(a;b)*x

b=(a;b)*y

De ezen kívül még trükközni kell valamennyit.

2-es:

a=(a;b)*x

b=(a;b)*y

(a;b)*(x+y)=370

x*y=270

270=2*3^3*5

x és y relatív prímek. Vagyis csak ezek a lehetőségek állhatnak fenn

x=27 y=10

x=54 y=7

x=270 y=1

és x+y osztója a 370-nek

Első esetben x+y=37 ez jó

A másik két lehetőség nem jó.

(a;b)*(x+y)=370

(a;b)=10

Vagyis a két szám

a=27*10=270

b=10*10=100

3-as

(a;b)*(x+y)=98

(a;b)*x*y=720

(a;b) osztója 98-nak és 720-nak is.

98=2*7^2

720=2^4*3^2*5

Vagyis (a;b)=1 vagy (a;b)=2

Ezt a két esetet meg kell nézni:

(x+y)=98

x*y=720

x*(98-x)=720

0=x^2-98x+720

x1=90

x2=8

Ez nem jó, x és y relatív prímnek kéne lennie.

Ha (a;b)=2

(x+y)=49

x*y=360

x*(49-x)=360

0=x^2-49x+360

x1=40

x2=9

Ez így jó.

a=80 b=18.

4-es:

ugyanúgy kell, mint a 2-est, meghagyom gyakorlásra.