Adott egy háromszög területe, kerülete és egy oldala. Ti hogy szerkesztenétek meg?

A legutolsó mondatot szerint ismered a szerkesztést egy oldal, a beírt kör sugara és egy hozzáírt kör sugarának ismeretében.

Nos akkor pont te tudod a szerkesztést!

Hiszen a beírt kör sugara kiszámítható: r=2T/K

Ha nem szabad számolni, csak szerkeszteni, akkor az egység hossz ismeretében a szokásos párhuzamos szelős szerkesztéssel az r:1=(2T):K aránypárral megszerkeszthető r.

Hasonlóan ismerhetjük, hogy a c oldalhoz írt kör sugara így számítható: R=2T/(K-2c).

Ez is szerkeszthető az előbbiekhez hasonló módon.

Na most már ismered a c oldalt, a beírt kör sugarát és a c-hez írt kör sugarát. Innen jöhet az általad ismert szerkesztés!

Jaaaa!

Így viszont egyszerűbb a dolog! Már írom is a szerkesztés menetét. Ez színtiszta Euklideszi szerkesztés. (Érdemes egy kész ábrán követni, miért azt írom, amit.)

Egy segédállítást is felhasználunk:

A c oldal hozzáírt körét érintik a CA és CB oldalegyenesek. Ezek az érintési pontok K/2 távolságra vannak a C csúcstól. (Gondold meg, miért!)

Tehát ismerjük a c oldalhoz hozzáírt kör sugarát (R), a beírt kör sugarát (r), a c oldalt. Ezekkel együtt ismerjük a kerületet (K). Más nem is kell.

Tehát a szerkesztés:

(1) Rajzolsz egy R sugarú kört.

(2) Ennek egyik érintési pontjába szerkesztesz egy érintőt.

(3) Az érintőre az érintési pontból felmérsz egy K/2 hosszú szakaszt. Ekkor kapod a C pontot.

(4) A C pontból az R sugarú körhöz megszerkeszted a másik érintőt. Ekkor megvannak a CA és CB oldalegyenesek (A és B pontok ismerete nélkül).

(5) Most megszerkesztesz egy r sugarú kört, amelyik érinti a két oldalegyenest. (Párhuzamosokat szerkesztesz r távolságra az egyenesektől, ezek metszéspontja az r sugarú kör középpontja.) Most megvan a beírt kör is.

(6) Már csak a két kör közös érintőjét kell megszerkeszteni, hiszen az AB oldalt mindkét kör érinti ugye. (Közös érintőt kis módosítással Thalész-tételes módon lehet szerkeszteni.)