Valaki aki IGAZÁN ért a matekhoz, el tudná magyarázni a "nyílt halmaz" definícióját?

A zárt halmaz motivációja igen kézenfekvő. Egy halmaz akkor és csak akkor zárt, ha zárt a limeszképzés műveletére, abban az értelemben, hogy minden, a halmazban haladó konvergens sorozatnak a határértéke is a halmazban van. Ez a definíció metrikus terekben mindenképp értelmes. És az első topológusok rájöttek, hogy a metrika megadása nélkül is lehet értelmezni a sorozatok határértékét, azáltal, ha csak a zárt halmazokat adjuk meg. Ez a fogalom gyakran hasznos, például a Heine-tételnél. Azt, hogy a zárt halmaz természetes és hasznos fogalom, nem hiszem, hogy tovább kéne ecsetelnem. Szerinted nem definícióértékű állítás, hogy a nyílt halmazok azok, amiknek a komplementere zárt. De mindenesetre karakterisztikus tulajdonsága a nyílt halmazoknak. SZVSZ centrális fogalmakra minden definíció mesterséges, igazából a definíciók a fogalomkör felépítéséhez kellenek. Az a dualitás, ami a nyíltság és zártság viszonyát jellemzi, viszont sokat segít az alapvető tételek megértésében. És hogy miért hasznos a nyíltság fogalma? A legjobb motiváció szerintem a kompaktság, illetve a a nyílt fedés. Általában az összefüggőség témaköre is jól kezelhetővé válik, ha egy halmaz nyílt halmazait vizsgáljuk.

Hogy létezik-e a (0,1) intervallumnak maximális eleme? Először tisztázzuk, hogy mit értünk valós számok alatt. A sztenderd megközelítés szerint az izomorfia-erejéig egyetlen (Bourbaki-féle értelemben vett) teljesen rendesen test. Ez Dedekind tétele. Teljesen rendezett testnek nevezünk egy rendezéssel ellátott testet, amin értelemezett egy olyan lineáris rendezés, miszerint a halmaz minden részhalmazának létezik szuprémuma és infimuma. (Megjegyzem, ezeket a magyar terminológia gyakran hívja alsó és felső határnak.) Namármost a valós számokat definiálhatjuk például Dedekind-szeletekkel, ahogy Dedekind is tette, és Cauchy nyomán racionális Cauchy-sorozatok ekvivalenciaosztályaiként, tudniillik két Cauchy-sorozatot ekvivalensnek tekintve, ha a különbségük zérósorozat. A rendezést ekkor értelemszerűen definiálhatjuk úgy, hogy veszünk két reprezentánst, és az egyik osztály nagyobb, mint a másik, ha létezik olyan küszöbindex, ahonnan kezdve az egyik reprezentánsa minden tagja nagyobb, mint a másiké. No, az így definiált valós számokra vonatkozik a Dedekind-tétel, (0,1)-nek van szuprémuma, de az nem eleme neki, így már nem nehéz belátni, hogy (0,1)-nek nincs szuprémuma. Természetesen léteznek más matematikai interpretációi a valós számoknak, de sajnos ezeket nem ismerem, így ezekhez nem tudok semmit sem fűzni.

Bocs, azért jöttem a ceruzás szemléltetéssel, mert azt hittem, nálad a szemlélet hiányzik. Tévedtem, te egyenesen rossz szemlélettel tekintesz erre a témára, úgyhogy mélyebbre kell menni ebben.

Tegyük fel, hogy x egy szám a (0,1) nyílt intervallumból. Ekkor 0<x<1, és 0<x/2<x<(x+1)/2<1. Tehát ezzel MINDEN x-hez, ami a (0,1) nyílt intervallumban van, mondtál kisebb és nagyobb számot is, ami szintén benne van és x/2 és (x+1)/2 között is minden szám a (0,1) nyílt intervallumban van. Tehát [x/2,(x+1)/2] az x szám egy környezete, amely teljes egészében (0,1)-ben van. Tehát (0,1) nyílt halmaz.

A definíció nem azért van, hogy te könnyen el tudd dönteni valamiről, hogy az most akkor bele tartozik-e, vagy sem. (Van olyan fogalom, aminek precíz a definíciója, de nem tudsz rá példát sem mondani, miközben be lehet bizonyítani a létezését. Tehát az is bizonyítható, hogy nem lehet példát mondani egy definícióra, és az is, hogy van rá példa. Na ezt emészd...)

Attól hogy egy halmaz minden eleme kisebb, mint 2, még nem feltétlenül van legnagyobb eleme. Vegyünk például egy egységsugarú kört, a bele írható sokszögek közül nyilván nincs legnagyobb területű (mert egy-egy csúcs hozzáadásával mindig lehet növelni a területet), annak ellenére, hogy MINDEN ilyen sokszög területe kisebb, mint a kör területe, hiszen tartalmazza.

A "pi" egy határérték. Nem attól lesz egy szám megadva, hogy megadjuk az összes tizedesjegyét. Azt mondjuk, hogy pi az egységsugarú kör félkerületének és sugarának aránya. Ezzel pontosan meg mondtad, hogy mi a pi, tudod, hogy létezik egy ilyen szám. Más kérdés, hogy ki is tudod számolni, hogy ez a pi kb. 3.14159, de tizedestört alakban nem tudod pontosan megadni.

Visszatérve a nyílt és zárt halmazokra, vannak NYÍLT és NEM NYÍLT halmazok, és ugyanez a zártakra.

Az eddigi válaszolók nem vétettek hibát a gondolatmenetükben, jobb lesz, ha még egyszer átgondolod.

Én itt csak az egyetemi oktatás katasztrófáját látom. Eddig is sejtettem, de még soha nem találkoztam vele a maga valóságában.

Kedves kérdező! Amit eddig írtál, azt mutatja, hogy egyszerűen nincs képed a végtelen fogalmáról. Sok formális adatot tudsz róla, meg másokról is, de úgy szereztél diplomát, hogy feltehetően jó a memóriád és a formális érzéked. Ez átvitt a vizsgákon. De soha nem értetted. Díjazható, hogy legalább utólag szeretnéd.

Szinte lehetetlen ilyen körülmények között ez. Ugyanis folyton kontrollálni kéne, pontosan mit nem értettél meg.

A végtelen egy fontos és nagyon nehéz absztrakció. Formálisan egy csomó művelet hasonló a véges esetekéhez, de a jelentése egészen más. Itt nem mutatunk meg minden elemről egy bizonyítandó tulajdonságot, hanem azt mutatjuk meg, hogy ha létezne kivétel, ellentmondana az eredeti feltételezésnek. A (0,1) intervallumos példánál maradva, azért van végtelen sok eleme, mert ha nem így lenne, akkor véges lenne. Akkor viszont fel tudnánk sorolni valamennyit. Nem tudjuk, mert bármit (ez kulcsszó!) teszel, én tudok mondani olyan számot, amit még nem mondtál. Ez egy fontos technika a végtelen kezelésénél.

Halmaz. Az első, amit le kell szögezni, csak akkor beszélhetünk róla, ha van eszköztárunk, amellyel el tudjuk dönteni, hogy egy elem a beletartozik-e, vagy sem. Általánosan ez az eszköztár a függvény, egy speciális esetként a metrikus tér, ahol a függvény a távolság. Ezzel tudjuk meghatározni az egyes elemek minőségét. A továbbiakban maradjunk ennél az esetnél.

A problémádat nem lehet pár sorban tárgyalni. Teszek egy kísérletet. A (0,1) nyílt halmaz, mert minden pontja belső pont. Mit jelent a belső pont? Tudok mondani egy olyan számot, hogy a pont körüli ekkora intervallumban minden pont a halmaz része. Fontos a sorrend. A minden azt jelenti, hogy nem lehetséges egyetlen olyan elemet mondani, amelyre a korábban megszabottak nem igazak. Előbb mondani kell a halmaznak egy pontját. Utána megvizsgáljuk e pont minőségét, aszerint mondunk egy számot, amely az intervallumot meghatározza. Tegyük fel, hogy az "a" pontot mondtad, 0<a<1. A b=min(1-a,a)/2 szám esetén Az összes [a-b,a+b] intervallumba eső szám része a (0,1)-nek is. Mivel "a" tetszőleges a fenti tartományban, így bármilyen pont esetén ez teljesül, tehát nyílt halmazról beszélünk. Legyen [0,1] halmaz. Ez zárt, mert nem nyílt. Ha nyílt lenne az 1 köré, ami része a halmaznak, tudnék intervallumot, ami szintén része a halmaznak. Csakhogy 1+c, ahol c tetszőleges pozitív, már nem része a halmaznak. Nincs ilyen köré fonható intervallum.

Ha ebből nem érted meg, meg kell mondanod, mit nem értettél belőle. Csak így juthatunk a megértéshez. Ezt jelezd privátban, mert akkor kapok üzenetet, hogy válaszoltál.

#15-höz. Én nem örvendeznék ennyire. A válaszoló rengeteg ismeretet szedett össze, de még nem bírt úrrá lenni rajta. Kavarog a nagy ismerettömeg, de kevés az összefüggés. Reméljük letisztul egyszer.

#16-hoz. A számosságot ne keverjük bele, nagyon messzire vezet, és most nem tárgya a beszélgetésnek. Igen a legnagyobb elem az teljesen más dolog. Csak akkor értelmezhető, ha a halmaz elmeire be van vezetve egy metrika, amelyben definiált a kisebb, nagyobb, egyenlő fogalom. Metrikus terekben ez általában, de nem feltétlenül a távolság, mégpedig egy előre rögzített ponttól való távolság. A számegyenesen, így annak egy intervallumán ez definiált, így például van értelme (0,1) halmazon (intervallumon) a legnagyobb elem fogalmának. A 3 dimenziós térben ez lehet egy pont origótól vett távolsága, de ha megadsz más mértékrendszert és szabályt, más is lehet. Például szokás a lineáris algebrában egy egyenlőtlenségekkel meghatározott poliéderben egy célfüggvény szerinti maximális megoldást keresni. Az hogy egy halmazban van-e "legnagyobb pont", roppant egyszerű. Nyílt halmazban nincs, zártban van, mégpedig a halmaz lezárása. Előbbiben azért nincs, mert akkor képes lennél olyan konstrukcióra, amelynél én nem tudok nagyobbat mondani. Bizonyítása ekvivalens azzal, hogy minden pont belső pont. Utóbbinál éppen a határ fogalma mutatja meg, hogy "ő" a legnagyobb.

#17-hez. Igen, a halmazokat időnként "ábrázoljuk papíron", de az egy absztrakt fogalom, szabályai vannak a kezelésének, azokat kell betartani. Emiatt egy feladat megoldása akkor "jó", ha nincs ellentmondásban egyetlen szabállyal sem. A kulcsa a tévedésnek a "tőlem". Te nem vagy része a halmaznak. Metrika csak a halmazban van, tehát a "tőled" való távolság nem értelmezhető. Csak a halmaz egy pontjától való távolság értelmes. Elképzelhető ugyan olyan metrika, amely értelmezhető a halmazon kívül, de ekkor kell egy olyan halmazt definiálni, amelynek része a "külső pont" is, az előbbi halmaz is, és ezen a halmazon van metrika megadva. Ekkor értelmes a kérdésfeltevés. Különben csak olyan, mintha azt kérdeznéd, a gyümölcs piros e inkább, vagy kék. A meggy gyümölcs és piros, a szilva gyümölcs és kék.

A "belső ellentmondásod" feloldása a halmazfogalom és a rajta végezhető műveletek megértése. Nincs más eset.

OFF:

Az egyetemi oktatás katasztrófájához. Ha valaki tanulni akarja a matematikát, annak az az egy módja, hogy műveli. Művelni lehet beszélgetésekben, feladatmegoldással, jó könyvek olvasásával. Az egyetem egy olyan közeg, ahol szerencsés esetben erre sok alkalma nyílik a matematikusnövendékeknek. De nem ez az egyetlen út. Szerencsés esetben matematikus diplomával nem kerül ki úgy az egyetemről, hogy nincs tisztában a végtelen alapvető jellegzetességeivel. De szerencsés esetben alkalmazott matematikus és programozó matematikus nem állít olyat, hogy matematikus diplomája van.