Valaki aki IGAZÁN ért a matekhoz, el tudná magyarázni a "nyílt halmaz" definícióját?

Telefonon láttam hogy írtál és az ágyból keltem hogy ki válaszoljak. :-) Mondtam hogy nem lesz egyszerű a dolog. Matematikus diplomám van, és ezt a dolgot sosem értettem. Levizsgáztam belőle, mert megtanultam és vissza tudtam mondani. De akkoriban olyan tanárom volt akitől ezt így nem lehetett megkérdezni. Szóval most készülj föl a legrosszabbra. :-)

Előszöris, az számomra teljesen érthetőnek és világosnak tűnik, hogy mit jelent a "belső pont". Nem csak véges, hanem végtelen (megszámlálhatóan végtelen és ennek hatványhalmazai) esetére is.

A "nyílt halmaz" definíciója, miszerint "H nyílt halmaz ha minden pontja belső pont", az már inkább a "felfogható" kategóriába tartozik. Azért felfogható, mert a definíció alapján bármely kézzel fogható konkrét pontról el tudnám dönteni hogy belső pont, vagy nem belső pont. De mégis egy kicsit megfoghatatlan, mert ez nem egy konstruktív definíció. Nem mondja meg, hogy ezt hogyan lehetne belátni egy adott halmazról. Oké, mondjuk véges halmaznál vagy megszámlálhatóan véges számosságú halmaznál ez még nem túl nagy gond. De mondjuk a valós számok egy részhalmazánál már maga a definíció semmiféle segítséget nem nyújt annak eldöntésére, hogy az adott halmaz nyílt vagy éppen zárt. Ha csak a definíció veszed alapul, akkor csak úgy tudnál döntésre jutni ha megvizsgálnád az összes pontját. De végtelen számosságú halmazok esetén ez nyilvánvalóan lehetetlen. Persze ettől függetlenül a definíció az még nem hibás, és nem felfoghatatlan. Csak éppen a triviális esetektől (pl. véges halmaz) eltekintve valamilyen trükkös bizonyítást kell fölhasználni ahhoz, hogy el tudjuk dönteni egy halmaz nyíltságának vagy zártságának tényét.

Namost a példa kedvéért, vegyük azt az intervallumot amit Te is mondtál. Ez a (0,1) jobbról és balról is nyílt intervallum. A jelölést értelmét értem: azért van kerek zárójel, mert a nullát és az egyet az nem tartalmazza. De mitől lenne ez nyílt? Te azzal próbáltál érvelni hogy:

"De ha akármilyen számot mondasz (pl. 0.001)..."

Én erre azt mondom hogy persze, ha mondasz egy konkrét számot akkor van egy jó példád. De ezzel még nem láttál be semmit se. Hiszen a definíció szerint az ÖSSZES pontra kell hogy teljesüljön a feltétel ("MINDEN pontja belső pont"!) Nem egyre, nem tízre és nem egymillióra. Akárhány példát hozol föl (akár végtelen számút is!) az még nem dönti el a kérdést. A kérdést az döntené el, ha minden pontjáról belátnád hogy belső pont. Ebben a formában ez nyilván megoldhatatlan feladat. Valamilyen más módon kellene bizonyítani.

Szóval, akkor ez a (0,1) intervallum mitől is lesz nyílt? Én azzal próbálkoztam, hogy a következő állítást:

"egy H halmaz nyílt, ha minden pontja belső pont"

átfogalmaztam erre:

"egy H halmaz nyílt, ha nincs olyan pontja ami nem belső pont"

A fenti átalakítás egészen biztosan szabályos (a rend kedvéért: formális matematikai logikával is elvégezhető, szabályos ekvivalens átalakítás).

Ez az átalakítás lehetőséged adna egy másik fajta bizonyításra. Nevezetesen: ha belátod hogy nincs olyan pontja ami nem belső, akkor a halmaz nyílt! Viszont nekem ezt az állítást nem sikerült belátnom!

Szóval hogyan tovább?

Egyébként ha vizuálisan elképzeled a (0,1) és a [0,1] intervallumokat, akkor a számegyenesen pontosan ugyan úgy néznek ki: mindkettő egy véges hosszúságú összefüggő szakasz. Mindkettőnek "vége van" valahol. Talán annyi a különbség közöttük, hogy a [0,1] szakasznál meg tudod mondani a legnagyobb és a legkisebb elemét (nulla és egy). A (0,1) szakasznál viszont nem tudod megmondani. DE EZ NEM JELENTI AZT HOGY NINCS NEKI! Hiszen azt konkrétan tudjuk hogy az összes eleme 2-nél kisebb, tehát a legnagyobb eleme 2-nél kisebb kell hogy legyen. Szóval van neki legnagyobb eleme. Analóg módon belátható hogy van neki legkisebb eleme is.

De egyébként ha a [0,pí] zárt intervallumot nézed, akkor arra mondhatod azt, hogy a pí a legnagyobb eleme. De a pí az csak egy jelölés egy konkrét számra. És azt a konkrét számot nem tudod leírni. Csak jelölni tudod.

Szóval, ha én most A1-el jelölöm a (0,1) legkisebb elemét, és A2-vel a legnagyobb elemét, akkor a (0,1) intervallum az pontosan megegyezik az [A1,A2] intervallummal. De ugye az nem lehet, hogy két különféle jelölésnél UGYAN AZ A HALMAZ egyszer nyílt, egyszer meg zárt legyen???

> Tévedsz. Abban, hogy a nyílt intervallumnak van legnagyobb eleme. Korlátja valóban van, de legnagyobb eleme nincs. Nézd csak meg a definíciót.

Nos igen, még igazad is lehetne. Sajnos ez nem bemondásra megy. Attól még hogy te ezt állítod, nem lesz igaz! A definíciót pedig hiába nézegetem - abban szó nincs olyanról hogy egy nyílt halmaznak van-e legnagyobb eleme vagy nincs. Tehát ezt a definíció közvetlenül nem mondja ki ("nem ezzel van definiálva" a nyílt halmaz). Így tehát ha teszel egy ilyen állítást, akkor be kellene bizonyítani mielőtt igaznak tekintenéd.

> Így pl. A (0,1)ben bármely eleménél lehet bagyobbat és kisebbet is mondani, nincs legnagyobb és legkisebb elem.

Te megint beleestél abba a hibába mint az előző kolléga. Mint már fentebb is említettem: igen, lehet mondani elemeket amik belső pontok. De ettől még a halmaz nem lesz nyílt! Ahhoz az összes pontot meg kellene vizsgálni. Szóval hagyjuk a példálózást mert ez nem bizonyít semmit.

> A (0,1) intervallum felső határa (vagyis legjobb felső korlátja) az 1.

Ez egyáltalán nem matematikus. Egyrészt én nem ismerek olyan fogalmaz hogy "felső határ". A "felső korlátot" azt ismerem, de "legjobb felső korlátot" azt nem. A korlátok nem jók és nem rosszak! (Mi ez óvoda???) Esetleg olyat ismerek hogy "legnagyobb felső korlát".

> Biz: Azért nincs kisebb felső határ, mert minden 1 nél kisebb számnál van nagyobb, amely még 1nél kisebb, vagyis egy 1nél kisebb szám sem felső korlát.

Azt írod, hogy minden 1-nél kisebb számnál van nagyobb eleme. De ezt honnan tudod? Ez megint csak egy bemondás. Ennyi erővel én is mondhatnám azt hogy "van olyan 1-nél kisebb szám ami 1-nél kisebb, és ezek közül a legnagyobb". Oké, értem én hogy nem tudom konkrétan megmondani az értékét. Nade a pí értékét se tudja senki megmondani, mégsem szoktak kételkedni a létezésében. A matematikában általában úgy van, hogy a "minden" és a "nem létezik" típusú állításoknál (univerzális kvantor és negált exisztenciális kvantor) bizonyítást kell alkalmazni az állítás ellentmondásmentességének bizonyításához. Bizonyíts! Én nem mondom hogy amit állítottál az nem igaz. De azt sem mondom hogy nem igaz. Én csak annyit mondok hogy ez nem egy triviális dolog, és ha igaznak akarod tekinteni akkor vissza kell vezetned (formális logikával, ekvivalens átalakításokkal) meglevő definíciókra és axiómákra.

> Ha jól értem a zárt intervallummal nincs bajod.

Nem jól érted. Az első leírásomban is azt írtam hogy "A jelölést értelmét értem: azért van kerek zárójel, mert a nullát és az egyet az nem tartalmazza. De mitől lenne ez nyílt?" Ugyanígy írhattam volna a zártat is: [0,1] jelölés értelme, hogy a halmaz tartalmazza a 0 és 1 pontokat. De mitől lenne ez zárt?

Az én álláspontom: értelmes dolognak tartom a "nyílt intervallum" és "zárt intervallum" jelölést bevezetni ÚGY MINT JELÖLÉST. Ezt elfogadnom mint a halmazok megadásának egyik lehetséges módja. De abban már kételkedem, hogy a halmazokat föl lehet osztani nyíltakra, zártakra, és senemnyílt-senemzártakra.

Csak azért a "nyílt halmazt" tettem föl kérdésként, mert általában úgy vettem észre, hogy ennek megmagyarázására tett kísérletek közben az emberek gyakrabban esnek a "semmit sem bizonyító példálózás" hibájába.

Bocs, még egy hibát találtam a bizonyításodban.

> Ha ez így van, akkor akkor az intrrvallumnak nincs maximuma, mert akkor az lenne a felső határ.

Ezt gondolom úgy értetted hogy "az lenne a legkisebb felső korlát"???

Ha a felső korlát definícióját nézzük akkor az "a felső korlátok közül a legkisebb". A halmaz felső korlátja pedig egy olyan dolog, amihez a halmaz minden eleménél nagyobb. A definíció magában hordozza azt, hogy a felső korlát az a halmaznak NEM ELEME! (Hiszen ha eleme lenne, akkor nem lehetne a halmaz minden eleménél nagyobb. Nevezetesen: önmagánál nem nagyobb.)

Tehát az a következtetésed, miszerint az intervallum "maximuma" lenne a "felső határ" (valójában: legkisebb felső korlát) az hibás. Mivel az intervallum legnagyobb értéke éppenhogy NEM LEHET a halmaznak semmiféle korlátja. (Se alsó se felső.)