Hogy bontsam a P (x) =2x^6+128 polinomot lineáris tényezők szorzatára?

Kétféleképpen lehet megoldani. Algebrai átalakításokkal (1) és Horner-módszerrel (2)( [link] utóbbi talán elegánsabb.

(1)

Az egyenlet másképp: 2(x^6+64) = 2(x^6+2^6)

Felhasználva azt az azonosságot: x^2-y^2=(x-y)(x+y) továbbá -i=i^3

2(x^6+2^6) = 2 {(x^3)^2 - [(-2i)^3]^2} = 2[x^3-(-2i)^3][x^3+(-2i)^3]

Most felhasználod azt az azonosságot, hogy: x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2):

x^3-(-2i)^3 = (x+2i)(x^2-2ix-4)

Akkor keressük x^2+2ix-4 gyökeit:

x^2 - 2i x - 4 = 0

másodfokú egyenlet megoldóképlete:

x_1,2 = [2i +/- sqrt{-4 - 4*1*(-4)}]/2 = i +/- sqrt(3)

Illetve x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2):

x^3+(2i)^3 = (x-2i)(x^2+2ix-4)

Keressük x^2+2ix-4 gyökeit:

x^2 + 2i x - 4 = 0

másodfokú egyenlet megoldóképlete:

x_1,2 = [-2i +/- sqrt{-4 - 4*1*(-4)}]/2 = -i +/- sqrt(3)

Így a polinom:

P(x) = 2(x+2i)(x-2i)(x-i-sqrt{3})(x-i+sqrt{3})(x+i-sqrt{3})(x+i+sqrt{3})

(2)

Itt azt tudod felhasználni, hogy ha van egy egész együtthatós polinomod a0 + a1*x + a2* x^2 ... alakban, akkor a0 együttható osztója a polinom gyöke ( [link] 22. oldal).

Nézzük a példánkat. Egyszerűsítsünk első lépésben: 2x^6 + 128 = 2(x^6 + 64)

tehát a megoldások: +/- 1(i), +/- 2(i), +/- 4(i) ... +/- 64(i)

Amit írok, tuti szétesik (másold át Wordbe, és állítsd be Console betűtípust).

Érdemes a kisebb felől haladni:

x=1

1 || 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 64 |

|| | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |

-------------------------------

|| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 65 | -> maradék (65), ez akkor nem nyert

Látszik, -1 sem lesz jó.

Akkor legyen x=2

2 || 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 64 |

|| | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |

--------------------------------------

|| 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 128 | -> maradék (128), ez akkor nem nyert, de majdnem jó

-2|| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 64 |

|| |-2 | 4 |-8 | 16 |-32 | 64 |

--------------------------------------

|| 1 |-2 | 4 |-8 | 16 |-32 | 128 | -> maradék (128), ez akkor nem nyert, de majdnem jó

Ilyenkor érdemes +/- 2i-t megnézni:

2i|| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 64 |

|| | 2i|-4 |-8i| 16 | 32i| -64 |

--------------------------------------

|| 1 | 2i|-4 |-8i| 16 | 32i| 0 | -> maradék (0), ön nyert :)

Ekkor a polinom (x-2i)(x^5 + 2i*x^4 - 4*x^3 - 8i*x^2 + 16*x + 32i)

Na folytassuk az x=-2i-vel

-2i|| 1 | 2i | -4 | -8i | 16 | 32i |

|| |-2i | 0 | 8i | 0 |-32i |

--------------------------------------

|| 1 | 0 | -4 | 0 | 16 | 0 | -> maradék (0), tehát ez is gyök.

Ekkor a polinom (x-2i)(x+2i)(x^4-4x^2+16) alakú.

Jól látszik, hogy az utolsó tag a^2-4a+16 alakú. Oldjuk meg pl. másodfokú egyenlet megoldóképletével:

a_1,2 = 1/2*(4 +/- sqrt(16-4*16)) = 2* (1 +/- i*sqrt(3))

Innen már nem nehéz, csak 2 gyökvonás:

a_1 = 2[1 + i*sqrt(3)]= 2*sqrt(1+3)*exp(pi/3*i) = 4*exp{pi/3*i}

x_11 = 2*exp{pi/6*i} = sqrt(3) + i

x_12 = 2*exp{(pi/6+pi)*i} = - sqrt(3) - i

a_2 = 2[1 - i*sqrt(3)]= 2*sqrt(1+3)*exp(-pi/3*i) = 4*exp{-pi/3*i}

x_21 = 2*exp{-pi/6*i} = sqrt(3) - i

x_22 = 2*exp{-(pi/6+pi)*i} = - sqrt(3) + i

Tehát a polinom:

P(x) = 2(x+2i)(x-2i)(x-i-sqrt{3})(x-i+sqrt{3})(x+i-sqrt{3})(x+i+sqrt{3})