A számok valójában az azonos számosságú halmazok közös tulajdonságai?

Egy halmaz számossága vagy végtelen – ami klasszikus értelemben nem szám, hanem jelleg, bár ki lehet egészíteni a számok fogalmát úgy, hogy az a különböző számosságokat is magába foglalja –, vagy természetes szám – a nullát is beleértve –, de egy halmaz számossága nem lehet negatív szám, nem egész valós szám stb…

Meg eleve a számosság a halmazok elemszámát jelenti, inkább a számosságot lehet jól definiálni a szám fogalmával.

Jobb definíció a számra, hogy a szám mennyiség leírására szolgáló elvont fogalom, elvonatkoztatva attól, hogy milyen tulajdonságról és annak milyen egységnyinek tekintett mértékéről (mértékegységéről) van szó. A szám az ehhez az alapegységhez képesti mértéket fejezi ki.

Ahogy előttem mondják. Max a termeszetes számokat reprezentalhatja a az azonos számusságú halmazok osztálya, bár abban már vegtelen számosságok is megjelennek. Sőt ha a rendezési struktúrát is figyelembe vesszük akkor eljutunk a rendszám matematikai fogalmáig.

A szám valójában nem univerzálisan meghatározott dolog, a matematikusok önkényes módon, intuícióból adódóan tekintenek valamire a számokkent. Melyet egyébként jól képvisel a valós számok tulajdonsága. Matematikailag a valós szamok tulajdonságaiból általánosított dolgot tekintik számnak, melnyek test a neve. Valós szamok eseten rendezett test. De szeretik az ún. algerailag lezárt testet is. Ilyen a komplex számok halmaza.

A test tulajdonsagai kvazi erthetőek hogy mit varunk el egy számtól. Az összeadás tulajdonságai arra fordíthatók le hogy egy szám megmaradó mennyiség. A szorzás tulajdonsagai pedig úgy fordíthatók le, hogy számokkal lehet számlálni.

A számosság és a szám két merőben más fogalom.

A számosság a halmazok egy tulajdonsága, és nem lehet természetes szám (nincs mondjuk "5" számosságú halmaz, csak véges vagy különféle minőségű végtelen számosságú).

A szám viszont elemek (objektumok) mennyiségi mérőszáma, amely két ilyen objektumcsoport mennyiségi összevetésére szolgál. A számfogalom kialakulása a gondolkodásra képes ember kíváncsiságából következett, mert az ember észrevette, hogy mondjuk két fadarab más mint három fadarab, és meg akarta ezt a két dolgot különböztetni.

Jó a kérdés, a számfogalom felépítése nagyon finom dolgokon múlik.

-> Természetes számok félgyűrűje:

Az N halmazt a természetes számok halmazának nevezzük, ha

(P1) N nemüres, és van egy kitüntetett 0∈N elem.

(P2) Adott egy ':N->N leképezés, melyet "rákövetkezőnek" nevezünk, és nincs olyan n∈N elem, hogy n'=0.

(P3) ':N->N injektív leképezés

(P4) Ha H⊆N, 0∈H és valahányszor h∈H, mindannyiszor h'∈H, akkor H=N.

[Itt P Peanora utal, ezek a Peano-axiómák.]

Könnyen látható a ZF-ben, hogy létezik az N={∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, .. .} halmaz, és az is könnyen megmutatható, hogy a (N;*,∅) struktúra, ahol n*:=n∪{n}, modellje a Peano-axiómáknak.

Mármost a Peano-axiómák nem szavatolják, hogy létezik is olyan halmaz, ami kielégíti őket, az viszont belátható, hogy ha létezik, akkor az izomorfia erejéig egyértelműen meghatározott.

-> Egész számok gyűrűje: a konstrukció röviden arra a tényre épül, hogy minden egész szám előáll két természetes szám különbségeként, a részletekbe nem megyek bele. Ezért izomorfia erejéig ez is egyértelműen meghatározott.

-> Racionális számok teste: a racionális számok teste előáll, mint az egész számok gyűrűjének hányadosteste, és mivel minden integritástartománynak (így az egészeknek is) izomorfia erejéig egyértelmű hányadosteste van, ezért a racionális számtest is izomorfia erejéig egyértelműen meghatározott.

-> Valós számok

-> Cantor-féle konstrukció: azon az észrevételen alapul ez a konstrukció, hogy minden valós számhoz létezik hozzá tetszőlegesen közel racionális szám, és így minden valós szám előáll, mint racionális számokból álló sorozat határértéke.

-> Dedekind-féle konstrukció: azon az észrevételen alapul, hogy bármely valós számot egyértelműen meghatározza a tőle számegyenesen jobbra levő pontok halmaza. Két különböző valóshoz tartozó halmaz ugyanis biztosan különböző, mert a két valós között van racionális szám.

-> Komplex számtest: lehet sokat ügyeskedni axiomatikusan, de talán a legegyszerűbb, ha tekintjük az R/(x^2+1) gyűrűt, ami x^2+1 valósak fölötti irreducibilitása miatt test, és izomorf a komplex számtesttel.