A Cantor és az Arkhimédészi axiómákból hogyan vezethető le a teljességi axióma?

Az Arkhimédészi axióma biztosítja, hogy a valós számok „egyenletes” eloszlásúak, nincsenek bennük szakadások, azaz nem léteznek „végtelenül nagy” vagy „végtelenül kicsi” elemek. A Cantor-axióma pedig azt mondja ki, hogy a véges intervallumok végső határértéke létezik. A teljességi axióma ezekre építve mondja ki, hogy a valós számok halmaza teljes, vagyis bármely részhalmaz felosztható olyan módon, hogy létezik elválasztó pont.

A teljességi axióma bizonyítása az Arkhimédészi és a Cantor axiómákra építve kicsit technikai jellegű, de a fő gondolat az, hogy ha a valós számok intervallumait megfelelően „szétvágjuk” (mint a Cantor-axiómánál), akkor mindig létezik egy olyan pont, amely összetartja ezeket a részeket – és ez a pont létezik a teljességi axióma értelmében. Az Arkhimédészi axióma pedig biztosítja, hogy nem kerülünk „végtelenül távoli” pontokra, hanem a számok közötti különbségek végesek és jól meghatározottak.

Természetesen ahhoz hogy levezethető legyen a 2 axiómából, azért a többi axióma is kimondatlanul ott van a háttérben.

A linken megtalálható a bizonyítás nagyolva:

[link]