Gödel nemteljességi tételei jelenthetik azt hogy ősze dől az axióma rendszer vagy hamis tételek vannak benne ?

A nemteljességi tétel csak annyit mond ki, hogy bármilyen rendszert veszünk alapul, mindig lehet benne ellentmondást találni, vagy olyan állítást, amelyről nem lehet eldönteni, hogy igaz vagy hamis. Ettől még nem fog összedőlni az egész rendszer, csak nem fog teljesen tökéletesen működni.

A matematikában van rengeteg megválaszolatlan kérdés, amiről jelenlegi tudásunk szerint még azt sem tudjuk eldönteni, hogy valaha megválaszolásra kerülnek-e. Ilyen például a híres Collatz-sejtés:

[link]

Gödel nem minden axioma rendszerre mondta ez: "Minden ellentmondásmentes, a természetes számok elméletét tartalmazó, formális-axiomatikus elméletben megfogalmazható olyan állítás, mely se nem bizonyítható, se nem cáfolható."

Azon, hogy tartalmazza a természetes számok elméletét, azt értjük, hogy szerepeljenek a formális nyelvben olyan kifejezések, melyek megfeleltethetők a természetes számoknak, az összeadásnak, a szorzásnak úgy, hogy a Peano-aritmetika axiómái megfogalmazhatók és egyben levezethetők is legyenek az elméletben. Ezt a feltételt még úgy is meg szokták fogalmazni, hogy az elmélet elegendően erős.

Valamint ezt a könyvet ajánlom elolvasásra: [link]

Gödel nemteljességi tételei pontosan azt jelentik, amit állítanak.

Ettől függetlenül lehet, hogy összedől az axiómarendszer, vagy hamis tételek vannak benne.