Létezik olyan rácssokszög, aminek a kerülete páratlan egész szám?

"Ez nyilván kiterjeszthető tetszőleges számú tagra is."

Miért lenne nyilvánvaló?

Oh, most nézem a #7-ben a link nemgyó. Megpróbálom megint, hogy én rontottam-e el, vagy a gyakori berak egy szóközt a http elé:

[link] [link]

és így http nélkül

[link] www.thehcmr.org/issue2_1/mfp.pdf

A www elé is berak egy szóközt, de nem alakítja linkké \o/

Ez a link [link]

> "Ez nyilván kiterjeszthető tetszőleges számú tagra is."

> Miért lenne nyilvánvaló?

No igen, ezt benéztem. Annyira nem is nyilvánvaló.

Itt egy bizonyítás a lemma nélkül, hogy négyzetmentes gyökszámok összege nem egész. Vicces módon, viszont olyan állítást használok fel, hogy gyökszámok összegeiből és szorzataiból álló kifejezés nem lehet 1/2 (de egész lehet, például √1 = 1, egész).

A bizonyítás: az

: S := Z[√2,√3,√5..]

gyűrűben dolgozom, aminek az elemei a pozitív egészek gyökei, és az ezek által összeadással, kivonással és szorzással generált elemek (mint valós számok). 0,1,-1,3-23*√(45)*(13-√2), ilyesmik az elemei.

Világos, hogy egy rácssokszög oldalhossza S-beli szám. Például 1+1+√2, 1+2+√5, 4, ilyesmik az oldalhosszok, mind-mind S-beliek.

Az S gyűrű része az algebrai egészek gyűrűjének[0,1] így a racionális törtszámok nincsenek S-ben, speciálisan 1/2 sincs benne.

Állítás: Ha az S gyűrűt leosztjuk 2S-sel (ami nem az egész S, mert 1/2 nincsen S-ben), majd az így kapott gyűrűt leosztjuk a nilradikáljával (a nilpotens elemek által generált ideállal), akkor a √(2k) alakú számok a 0-ba, és a √(2k+1) alakú számok az 1-be mennek.

Hát persze, S/2S-ben az √(2k) képe nilpotens így a 0-ba megy, illetve √(2k+1) képére fennáll hogy x^2-1 = 0, azaz (x+1)(x-1) = 0, azaz (x-1)^2 = 0, így √(2k+1)-1 is nilpotens S/2S-ben, így √(2k+1)-1 képe 0, √(2k+1) (képének a) képe 1.

Mivel a pozitív egészek gyökei generálják S-et,

: S -> S/2S -> (S/2S)/nil(S/2S)

során S képe generálja F_2-t, így S képe maga F_2. Így kaptunk egy homomorfizmust S-ből F_2-be.

Nevezzük a 0 őseit "páros"-nak, és az 1 őseit "páratlan"-nak. Mivel ez a leképezés homomorfizmus, fennállnak a megszokott összefüggések, PTL + PTL = PS, PTL * PTL = PTL és a többi.

Világos, hogy az egész számok (amik mind S-beliek) között a párosak a párosak, és a páratlanok a páratlanok. Innentől csak számelmélet.

Legyen a rácssokszög oldalhossza L, L paritása S-ben érdekel minket. Azt akarjuk megmutatni, hogy L páros, így nem lehet páratlan egész szám.

Jelölje dx_i és dy_i az i-edik oldal vízszintes és függőleges elmozdulását, előjelesen.

: par[ L ] = par[ sum √(dx_i^2 + dy_i^2) ],

ahol S-beli számokat adunk össze. S-ben egy összeg paritásán nem változtat, ha minden elemet négyzetre emelünk, így

: par[ L ] = par[ sum (dx_i^2 + dy_i^2) ].

Tudjuk hogy

: sum dx_i = sum dy_i = 0,

mert a rácssokszög zárt. Amiből

: par[ sum dx_i + sum dy_i ] = 0,

amiben a tagokat négyzetre emelve

: par[ sum dx_i^2 + sum dy_i^2 ] = 0,

ami éppen L paritása.

Azt kaptuk tehát, hogy egy rácssokszög oldalhossza ebben az S gyűrűben páros, így nem lehet páratlan egész szám. Q.E.D.

[0] : [link]

[1] : [link]

Szép ötlet, amit a 15-ös hozzászóló felvetett. Egy gyenge pontját látom a dolognak (lehet, hogy tévedek).

Mi garantálja, hogy a "kibővített" értelemben vett paritásfogalom tényleg jól definiált? Azaz miből következik az, hogy véletlenül nem rendeltük hozzá ugyanahhoz az S-beli elemhez egyszer a 0-t, egyszer pedig az 1-et is?

Szóval a lényegi kérdésem: burkoltan nincsen itt felhasználva az, hogy az S gyűrű elemeit lényegében egyértelműen lehet előállítani a négyzetgyökök összegeként (ami kvázi ugyanahhoz a kellemetlen lemmához vezet vissza, amit ki akartunk kerülni)?

Igen, ez a része a nem triviális, és még macerás is (ezért is van elmaszatolva).

Még egyszer, kicsit máshogy: S/2S egy gyűrű, amelyben x = -x, 3=1, 2x = 0, stb. Az is igaz, hogy tagonként lehet hatványozni, (a+b+c+..)^2 = a^2+b^2+c^2+..

Ezért minden S/2S-beli elem négyzete már egész (belátható hogy minden elem előáll gyökök összegeként, nem feltétlen egyértelműen, de az mindegy). Aminek a négyzete 0 az legyen páros, aminek a négyzete 1, az legyen páratlan.

A szükséges 6 összefüggést meg belátod kézzel.

Pl: PS + PTL paritására vagyunk kíváncsiak.

: (PS + PTL)^2 = PS^2 + PTL^2 = 0 + 1 = 1

tehát PS + PTL négyzete 1, PS + PTL páratlan. A maradék 5 összefüggés ugyanígy.

"nem feltétlen egyértelműen, de az mindegy"

Ezzel van a gondom nekem. Tegyük fel elméleti síkon, hogy mondjuk valamilyen k,l,m,n,s pozitív egészekkel egy x szám kétféleképpen is felírható, mondjuk

x = √(2k+1)+√(2l+1)+√(2m+1)=√(2n+1)+√(2s+1).

Ilyenkor pl. x képe F_2-ben 0 és 1 is lenne egyszerre, vagy rosszul látom?

Nem használtam ki hogy a felírás milyen alakú, csak azt, hogy létezik. A bizonyításból adódik hogy x nem lehet páros és páratlan (hiszen az nem függ a felírástól, csak attól hogy mi x négyzete, és x négyzete egy szám, tehát nem függ a felírástól). Ha érted, amit leírtam, akkor a példádat végig tudod követni, hogy mi történik vele. Ha nem érted amit írtam (ami nagyon könnyen megeshet), akkor álljon itt konkrétan:

Tegyük fel hogy

: x = √(2k+1)+√(2l+1)+√(2m+1) = √(2n+1)+√(2s+1)

valós szám, ami kétféle képen is felírható. x S-ben benne van, és mind a két felírása is. x képe S/2S-ben (legyen h: S->S/2S a faktorleképezés)

: h(x) = √(2k+1)+√(2l+1)+√(2m+1) + 2S = √(2n+1)+√(2s+1) + 2S.

(Csak mögé írtam +2S-t, de azt mindjárt elhagyom megint.)

Vegyük a négyzetét S/2S-ben:

: h(x)^2 = (2k+1)+(2l+1)+(2m+1) = (2n+1)+(2s+1)

: h(x)^2 = 1 = 0.

Ez nem lehet, S/2S-ben a 0 az nem 1.

Akár kimondható és be is látható hogy bármely két felírásra egyszerre páros vagy páratlan. És valóban, ha h(x)^2 = 1, akkor minden felírással az adódik hogy h(x)^2 = 1, és ha h(x)^2 = 0, akkor minden felírással az adódik, hogy h(x)^2 = 0.