Ha az alef-0 számosság egész, akkor a c = 2 ^ alef-0 számosságnak párosnak kell lennie, nem?

1. Az ℵ₀ utáni következő számosság az ℵ₁=2^ℵ₀ . De ez nem a valós számok számossága, nem a kontinuum számosság. A kontinuumhipotézis – ami ugye egy sejtés – szerint a valós számok halmazának minden végtelen részhalmaza vagy a valós számok halmazával, vagy a természetes számok halmazával azonos számosságú, röviden |ℝ|=ℵ₁ .

A sejtésről Gödel bebizonyította, hogy nem cáfolható, Cohen meg bebizonyította, hogy a ZFC axiómarendszerben nem bizonyítható. Tehát sem a sejtés állítása, sem annak tagadása nem vezet ellentmondásra.

~ ~ ~

2. Ugye egy halmaz – legyen ez H – hatványhalmaza szükségszerűen páros számú elemből áll. Hiszen minden valódi részhalmaz – legyen ez J – egyben meghatároz egy és pontosan egy másik, tőle eltérő részhalmazt is H\J. A teljes halmaz – azaz H – meg ugye az üres halmazzal – azaz ∅ – alkot párt. Ha egy véges számú halmaz elemeinek a száma n, akkor a hatványhalmaz elemeinek a száma 2ⁿ. Pl. a 3 elemű H={1,2,3} halmaz hatványhalmaza: 𝒫(H)={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}, ez 2³=8 elem.

Ugye a Cantor-tétel szerint egy végtelen számosságú halmaz hatványhalmaza nagyobb számosságú az eredeti halmaznál: |𝒫(H)| > |H|. Innen jön a 2^ℵ₀ jelölés, és annak az értelme.

~ ~ ~

3. Viszont ne feledjük el, hogy végtelenről van szó. Ha egy végtelen halmazból elveszünk egyetlen elemet, akkor továbbra is végtelen halmazt kapunk. Viszont a számosságuk ettől még azonos. Így aztán a végtelenre jelentését és értelmét veszíti az a fogalom, hogy „páros”. Az a fogalom, hogy „páros”, csak a véges egész számokra értelmezhető fogalom.

Az egész számok halmazának a számossága ℵ₀. Ez páros vagy páratlan? Meg lehet fogni úgy, hogy minden páros számhoz rendeljük hozzá a nála eggyel nagyobb páratlan számot, és minden páratlan számhoz rendeljük hozzá a nála eggyel kisebb páratlan számot. Ez egy kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, minden páros számhoz tartozik pontosan egy páratlan szám, és minden páratlan számhoz tartozik pontosan egy páros szám. Viszont ha úgy nézzük, hogy minden számhoz rendeljük hozzá a -1-szeresét, akkor minden elemnek van párja, kivéve a 0-t. Akkor most páros vagy páratlan számú egész szám van? A kérdés értelmetlen. (És nem a nullával van gond, mielőtt felelevenítenéd azt a témát, mert a ℤ\0 halmazzal is ugyanez a helyzet, ha a pozitív és negatív számokat párosítjuk össze, akkor minden elemnek van párja, ha az 2n↔2n+1 bijekciót nézzük, akkor meg a -1-nek nem lesz párja.)

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Tehát bár a ℵ₁=2^ℵ₀ jelölés a hatványhalmazból származik, és bármelyik véges halmaz hatványhalmazának a számossága páros, de ez a végtelen számosságok esetén már nem állja meg a helyét, nem értelmezhető ezekre a párosság fogalma. Tehát a 2^ℵ₀-nak nem kell párosnak lennie, a 2^ℵ₀-nak nincs párosság tulajdonsága.

A tagadása az, hogy a valós számok halmazának van olyan végtelen részhalmaza, aminek a számossága sem a természetes számok halmazának, sem a valós számok halmazának a számosságával nem azonos. Magyarán van olyan végtelen halmaz, aminek a számossága nagyobb a természetes számok halmazának számosságánál, de kisebb a valós számok halmazának a számosságánál. Máshogy:

∃H⊂ℝ : |ℕ| < |H| < |ℝ|

Megint máshogy:

ℵ₀ < ℵ₁ < ℶ₁

(Ahol ℶ₁ a valós számok halmazának a számossága, és amit a kérdező általában c-vel szokott jelölni.)

Ez nem igaz : "De ez nem a valós számok számossága, nem a kontinuum számosság. "

Az pontosan a kontinuum számosság.

[link]

". A kontinuumhipotézis – ami ugye egy sejtés – "

Az sejtés volt. Amióta tudjuk, hogy bizonyított hogy bizonyíthatatlan és cáfolhatatlan azóta axiómának tekinthetjük, vagy egy másik ettől független axiómatendszerbe a tagadása szerepel mint axióma.

"Ebből azt az egész számokra (és számosságokra is?) igaz következtetést vonom le, hogy az sem igaz, hogy alef-0 egész. Szerintetek alef-0 nem egész? Viszont hogy értelmezhető nem egész elemszámú/-számosságú halmaz?"

Olyan számosságra ami több mint bármely véges elemszám nem teljesül rá ez se meg több egyéb tulajdonság sem ami véges esetben igen. Az egész mint szám tulajdonság és az ebből következő aritmetikai tulajdonságok a számokra igazak. Ezek nem számok, pontosabban mondva olyan értelemben számok ahol ki van terjesztve a szám fogalma kvázi általánosítása van.

Olyan értelemben viszont egész hogy fél, negyed vagy irracionális számosságú részhalmaza nincs, értelmetlen fogalom is lenne.

A halmazok számosságát a természetes számok általánosításának is lehet tekinteni, ahol vannak végtelenül nagy értékek is, legalábbis olyan bővített ZFC halmazelméletben ahol a kontinuumhipotézis axiómaként igaz.