Ha az alef-0 számosság egész, akkor a c = 2 ^ alef-0 számosságnak párosnak kell lennie, nem?

> Amióta tudjuk, hogy bizonyított hogy bizonyíthatatlan és cáfolhatatlan azóta axiómának tekinthetjük, vagy egy másik ettől független axiómatendszerbe a tagadása szerepel mint axióma.

Én erről anno komolyabban nem tanultam, csak érintőlegesen, az autodidakta módon összeszedett tudásom így lehet hibás/hiányos/elavult. Így ha te azt mondod, hogy ezt így tanítják, akkor „ma is tanultam valamit” alapon készséggel elfogadom ezt.

Bár… Nem tudom te hogy vagy vele, lehet, hogy ebben nagyobb rálátásod van a kérdéskörre, de én egy icipicit csalásnak érzem a dolgot. Oké, addig van a dologban logika, hogy ha egy állítás, sem annak az ellentéte nem következik a meglévő axiómákból, akkor az állítást fel lehet venni úgy az axiómarendszerbe, ettől az axiómarendszer konzisztens marad.

Viszont ilyen alapon akár az állítás ellentétét is felvehettük volna axiómaként, hasonlóan ahhoz, ahogy az euklideszi axiómarendszerben a párhuzamossági axiómát lecserélve – intuitíve akármennyire is az euklideszi axiómát érezzük intuitíve „igazabbnak”, praktikusabbnak – olyan új geometriákat kaptunk, amik teljesen egyenrangúak voltak az euklideszi geometriával (az bár a matematikán belül maradva mellékes, de azért mégiscsak megjegyzendő, hogy mint kiderült, nem az euklideszi geometria az, ami a legalkalmasabb a fizikai világ leírására, tehát az intuíciókban sem annyira biztos, hogy jó bízni).

A másik ellenérzésem ezzel szemben, hogy az embernek van egy olyan elvárása, hogy egy axiómarendszer olyan axiómákra építsen, amit egy racionálisan gondolkodó ember annyira magától értődőnek tart, hogy szinte már irracionális, vagy legalábbis nehezen elképzelhető az axióma ellentétét elképzelni. Pl. az euklideszi axiómarendszerben arra, hogy „ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk hozzá, akkor egyenlőket kapunk”, arra az ember azt mondja, hogy „hát persze, hogyan is lehetne máshogy?”. A kontinuumhipotézis állítása azért ennyire nem magától értődő. Mondjuk érdekes, hogy a legtöbb axiómarendszerben van egy olyan állítás, ami kevésbé egyszerű és magától értődő, mint a többi, ami egy picit kilóg a sorból, szóval azért ez sem egy túl erős ellenérv a részemről.

Félreértés ne essék, nem vitatom azt amit írtál, teljesen elfogadom az általam leírtak korrigálását, csak éppen egy kicsit csodálkozom azon az általam nem ismert tényen, hogy a kontinuumhipotézis kérdéséből végül axiómát fabrikáltak.

"Viszont ilyen alapon akár az állítás ellentétét is felvehettük volna axiómaként, hasonlóan ahhoz, ahogy az euklideszi axiómarendszerben a párhuzamossági axiómát lecserélve – intuitíve akármennyire is az euklideszi axiómát érezzük intuitíve „igazabbnak”, praktikusabbnak ..."

Pont azt mondtam, hogy "egy másik ettől független axiómatendszerbe a tagadása szerepel mint axióma".

Amit említettél példának a párhuzamossági axiómát az is bizonyíthatatlan és cáfolhatatlan. Bólyai János bizonyítani próbálta indirekt módon vagyis feltette a tagadását hogy azaz igaz és kapott valami egésszen mást, egy másik geometriát ami szintén ellentmondásmentes. Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij Bolyaitól függetlenül kapta meg szintén ugyanazt a geometriát, bár ő tudatosan ilyen másik geometriát keresett.