A KOMPLEX számokat miért kell túl misztifikálni? A yutyun meg a wikin is meg mindenhol misztifikálják, hogy "képzetes rész" (imaginárius) meg valós rész. Szerintem ez így "nagyon gáz", mivel a komplex szám egyszerűen x és y koordináta.

Miért gondolod, hogy túl van misztifikálva? Ez csak egy elnevezés, semmi több. ű

Egyébként majdnem igazad van, azzal hogy csak x, y koordináta. Matematikailag precízen a komplex számok az egy számpár (a,b) adott elsőre furcsának tűnő szorzásra vonatkozó axiómával. És ezt a számpárt lehet úgy jelölni, hogy legyen a + i*b, de ez nem teljesen precíz matematikailag, de sokkal egyszerűbb vele számolni, mintha a számpárokat szorozna az ember.

Nope, nem azonos azonos az (x,y) koordinátasíkkal a Gauss-sík, hanem izomorf vele (geometriai értelemben, tehát vezet (nagyon sok) kollineáció a (C,+,{c*},c∈R) affin síkból az (R^2, +, {c*}, c∈R) valós affin síkba. Egész konkrétan egy ilyen kollineáció, ha a komplex síkból megyünk a valós affin síkba, akkor z=a+bi->(a,b). Ennek mátrixa a standard bázisban az egységmátrix, ez okozza azt a félreértést, hogy a kettő ugyanaz. Ez magyarázza, hogy miért izomorfak, mint affin síkok, illetve miért izomorf R^2 és C, mint R fölötti vektorterek.

De algebrai értelemben már nem izomorfak, még gyűrűizomorfizmus sem lehet köztük, ugyanis R^2 nem nullosztómentes, C viszont test, így nullosztómentes, az izomorfizmusok pedig tartják a nullosztómentességet. R^2, mint R×R (külső) direkt szorzat, természetesen gyűrű ugyan, de nem test.

Szóval a megkülönböztetés minden szempontból jogos. Geometriai és lineáris algebrai szemszögből vizsgálva a két objektum izomorf ugyan, de NEM azonos, algebrai értelemben pedig végképp nem izomorf a kettő.

Megjegyzés: szándékosan írtam kollineációt affinitás helyett, mert affin síkon pontosan a kollineációk az affinitások, és az affin síkok izomorfiáját úgy definiáljuk, hogy két affin sík akkor izomorf, ha van köztük kollineáció.

#6 voltam.

Bocs, mi a kérdés? Nem /kell/ túlmisztifikálni, de úgy alakult, hogy ez a neve. Vagy elfogadod, vagy nem.

A komplex számsík nem /azonos/ a két dimenziós euklideszi síkkal. A rajtuk levő valós vektortér struktúrák viszont izomorfak, nyugodtan ugrálhatsz ide-oda közöttük, anélkül hogy sokat vacakolnál a jelöléssel.

Például mondhatod azt, hogy a rajzlapon a Napóleon tételt[0] akarod belátni, de ehelyett belátod a komplex számsíkon, mert ott egyszerűbb.

Vagy fordítva, a komplex számsíkon akarod belátni hogy mondjuk a magasságvonalak egy ponton mennek át, és ezt valamiért geometriával látod be. (Most nem tudok fejből olyan problémát, amit viszonylag természetes megfogalmazni komplex számokkal, de a geometriai bizonyítása egyszerűbb, mint az algebrai.)

[0] : [link]