Hogyan kell a legegyszerűbb geometriai állításokat bebizonyítani?

Na. #20 vagyok. Lehiggadtam. Akkor. Lássuk.

Legyen A,B két különböző pont a síkon, ekkor felező merőlegesük azon pontok mértani helye a síkon, melyek ugyanolyan távolságra vannak az A és B pontoktól.

Bizonyítás: Legyen P tetszőleges pont a szakaszfelező merőlegesen, F az AB szakasz felezőpontja. Ekkor az AFP és BFP háromszögek egybevágók, mert van két egyenlő oldaluk, melyek egyenlő szögeket zárnak be (derékszöget), és ezért d(A,P)=d(B,P), hisz AP és BP az egyenlő közbezárt szögekkel szemközti oldal. Teljesen analóg a gondolatmenet szakaszfelező hipersíkra is. Hűűűű, de nagy művelet...

Egy kör bármely átmérője felezi a kör területét:

A kör bármely átmérője két olyan síkrészre osztja a kört, melyek egy izometriával (pl. tengelyes tükrözzéssel) egymásba vihetők. Ha a területet, mint Jordan-mértéket értelmezzük, akkor a Jordan-mérték izometriákra vonatkozó invarianciája miatt a két síkrész területe egyenlő.

"Egy síkidomot egy egyenessel kettévágva két olyan síkidomot kapunk, melyek területe összege megegyezik az eredeti síkidom területével."

Na, ettől a mondattól eleve hányingerem van, mert nem igaz, és itt hőbörögsz.

1) Az se biztos, hogy az eredeti síkidomnak van területe. Maradva a Jordan-mértéknél, pl. az egységnégyzetben véve a csupa racionális koordinátájú pontokat, a kapott ponthalmaz külső Jordan-mértéke 1, belső Jordan-mértéke 0, így Jordan-szerint nem mérhető. (Lebesgue-szerint igen, és Lebesgue-nullmértékű halmaz.)

2) Az se biztos, hogy egy síkidomot egy egyenes kettévág, simán lehet konstruálni olyan ponthalmazt, ami Jordan-mérhető, és egy alkalmasan választott egyenes végtelen sok részre bontja. Pl. A Sierpinski-szőnyeg egy ilyen ponthalmaz, és területe (inkább mértéke) 0.

Szóval a költő azt gondolta, hogy egy konvex halmazt egy egyenessel két részre vágva a kapott két síkidom területösszege egyenlő az eredeti halmaz területével. Na, itt már jó fele kotorászunk, rövid szütymögéssel tényleg kimutatható, hogy R^k (k=1,2,...) minden konvex halmaza mérhető (megengedve a végtelen mértéket is a nem korlátos halmazoknál), ez azon múlik, hogy a határuk k-dimenziós Jordan-mértéke 0, mert ismét rövid szütymögéssel az is megmutatható, hogy egy R^k-beli ponthalmaz akkor és csak akkor mérhető, ha határa nullmértékű.

A sík esetében egy konvex halmazt egy egyenes két mérhető halmazra oszt, mert a keletkező halmazok határa áll egyrészt az eredeti határ egy részhalmazából, másrészt áll egy egyenesszakaszból. Mivel nullmértékű halmaz részhalmaza is nullmértékű, ezért az eredeti határ részei nullmértékűek, az egyenesszakasz nullmértékű, mert ismét némi szütymögéssel igazolható, hogy az [a,b] korlátos, zárt intervallumon folytonos függvény [a,b] fölötti grafikonja nullmértékű, és egy egyenesszakasz előáll ilyenként (esetleg izometriával buherálni kell a koordinátarendszert). Na most két olyan halmazt kaptunk, melyek határa két nullmértékű halmaz uniója, ez ismét nullmértékű, tehát a kapott halmazok csakugyan mérhetők. A halmazok egymásba nem nyúlók, mérhetők, ezért uniójuk (az eredeti konvex halmaz) is mérhető, és az uniójuk mértéke egyenlő a halmazok mértékei összegével. Kész vagyunk.

Alig néhány helyen lehetett belekötni a mondókádba...

Pont annyira lehet szánalmas, mint ahogy te folytatod a semmit...

Olyan vagy mint egy gyerek, minden válasz után mgkérdezed, hogy "de miért?"