Mi az (arctgx)^3/(x^2+1) függvény primitív függvénye?

Tudjuk azt, hogy

(a*f(x)^n)' = a*n*f(x)^(n-1) * (f(x))' (használva a hatványfüggvény deriválási szabályát és a láncszabályt), ha ezt integráljuk, akkor ezt kapjuk:

(a*f(x)^n) + C = int( n*a*f(x)^(n-1) * (f(x))' ) dx

Tehát ha a jobb oldalon található alakú kifejezésre át tudjuk írni az eredetit, akkor jók vagyunk. És jók vagyunk, mert tudjuk, hogy az arctg(x) deriváltja 1/(x^2+1), a törtet pedig át tudjuk úgy írni, hogy arctg(x) * 1/(x^2+1), tehát a képletben f(x)=arctg(x) lesz. Még az a-t és n-t kell jól megválasztanunk; az n biztosan 4, mert csak úgy tud deriválás után 3 kerülni a kitevőbe, viszont a kitevőben lévő 4-es „lejön” szorzónak, azt pedig 1/4-gyel tudjuk semlegesíteni. Tehát a=1/4 lesz, így pedig a függvényünk: (1/4)*arctg(x)^4 +C, ami arctg(x)^4/4 + C. Ellenőrizni úgy tudunk, hogy deriváljuk:

(arctg(x)^4/4 + C)' = 4*arctg(x)^3/4 * (arctg(x))' = arctg(x)^3 * 1/(x^2+1) = arctg(x)^3/(x^2+1), és ezt kellett kapnunk.