Most akkor mi a FÜGGVÉNY pontos definíciója?! Többi lent!

Elég csak bizonyos elemeihez hozzárendelni.

Pl vegyük az 1/x függvényt, a 0-hoz nem rendel semmit (nem értelmezett), de attól még rendes függvény.

Ha „A” halmaz bizonyos elemeiről van szó, akkor ezek a bizonyos elemek egy részhalmazt jelentenek – mondjuk „Z” halmazt –, így aztán az a kijelentés, hogy „A” halmaz *bizonyos* elemeihez hozzárendeljük „B” halmaz bizonyos elemeit, az egyenértékű azzal, mintha azt mondanánk, hogy „Z” halmaz *minden* eleméhez hozzárendeljük „B” halmaz bizonyos elemeit. (Z halmaz amúgy ennek az A halmaznak

A függvény lényege, hogy A – vagy Z – halmaz egy adott eleméhez B halmaznak egy és csakis egy elemét rendeljük hozzá, magyarán A és B halmaz között – vagy Z és B halmaz kötött – jobbról egyértelmű hozzárendelést végzünk.

Függvényeknél alapvetően az a lényeg, hogy az őshalmazbeli elemekhez NEM RENDELÜNK 1-NÉL TÖBB ELEMET a képhalmazból. Tehát ha ilyenünk van, akkor az joggal mondható függgénynek.

Másik dolog; alapvetően az algebrai függvényeket RxR-en szoktuk értelmezni, aztán rájövünk, hogy nem minden számra tudjuk elvégezni a műveleteket, és/vagy nem minden valós értéket vesz fel. Például az

f: RxR, y=gyök(-x)

felírás is függvényt takar, annak ellenére, hogy igazából (R\R+)x(R\R-) kellene az elejére.

Tehát ha a „pontosan 1” helyett „legfeljebb 1”-et írunk, akkor a függvény definícióját kapjuk.

Amit még nem értek, hogy miért kell kikötésnek, hogy egyik sem lehet üres halmaz; például szerintem az

f: RxR, 1/gyök(-x*x)

is joggal nevezhető függvénynek, mivel a „legfeljebb 1”-es definíciónak megfelel.

A "függvény" a magyar nyelvben egy olyan jelenség, hogy egy valami állapota függ egy másik valami állapotától. Tehát ha egy halmaz elemeihez másik halmaz elemeit rendelem, akkor a két halmaz elemei között "függés" van.

Ha az egyik halmaz üres, akkor nincs hozzárendelés, tehát "függés" se.

Egy halmaznak sokféle számosságú eleme lehet. Egy hozzárendelés sokféle lehet. Ebből következik, hogy egy függvény is sokféle lehet.

Jellemzően akkor nevezünk függvények egy ilyen leképezést, ha az első halmazban végtelen sok elem van. Természetesen véges számú elem esetén is ugyanaz a leképezés van, csak a matematikában (ahonnan az általános elnevezés red) ezt diszkrét leképezésnek nevezzük.

Ha "A" halmaz minden eleméhez pontosan egy, még fel nem használt elemét rendeljük a "B"-ből, akkor ez egy egy-egy értelmű leképezés (függvény).

A függvényeknek számos tulajdonságát szokás megkülönböztetni, ami a leképezés jellegét határozza meg. Lehet egy függvény monoton, szigorúan monoton, folytonos, differenciálható és még számos más tulajdonságú, így a függvények osztályokba sorolhatók.