Ha határértékeknél nagy számokról áttérünk végtelenre, akkor van-e értelme bármikor is azt mondani, hogy ez az áttérés "hirtelen"?

> Ha határértékeknél nagy számokról áttérünk végtelenre…

Nem történik ilyen „áttérés”. Ha egy f(x) függvénynél az x a végtelenbe tart, és a határérték is a végtelenbe tart, akkor azzal annyit állítunk, hogy bármilyen nagy, de véges számot mondasz, tudok olyan véges x-et mondani, ahol f(x) az általad megadott számnál nagyobb lesz. Ehhez hasonló módon értelmezendő, ha egy függvény határértéke egy véges pontban tart a végtelenbe, vagy ha az x tart a végtelenbe, akkor a határérték egy véges értékhez tart. Itt a végtelen annyit jelent, hogy nem pusztán nagy számról beszélünk, hanem bármilyen tetszőleges, de véges nagy számnál nagyobb számról. A végtelen pusztán egy szó arra, hogy ezt egy szóval meg tudjuk fogalmazni.

Csak lépésköztől függ. Például ezen az animáción lesz egy pillanat (vagyis kettő), amikor a tangens végtelenné válik.

[link]

Hogy hol, milyen távoli pont után lesz véges értékből végtelen, azt nem lehet megmondani. A végesből végtelenné válás pillanatának "elcsípése" csak attól függ, milyen kis lépésekben változtatod a szöget. Ez olyan, mint a valós számok egymásutánisága. A 90 fok előtti "utolsó" szög vajon mekkora? :)

Ha egyre nagyobb számokon keresztül, folyamatosan jutunk a végtelenhez, mint pl. 1/x vagy tg(x), az nem "hirtelen".

Nézzük pl. az y = x^x^x^x^.... végtelen hatványtorony esetét.

Ha x--> e^(1/e)-hez akkor y--> e-hez, de ha picivel is több, akkor végtelen. Átmenet, fokozatosság nélkül.

Nekem ez a hirtelen.

"Csak lépésköztől függ. Például ezen az animáción lesz egy pillanat (vagyis kettő), amikor a tangens végtelenné válik."[...]

Ez a hozzászólás egy jó példa arra, hogy nem ért hozzá a hozzászóló. Már ki lett fejtve, hogy egyébként is miért nincs ilyen áttérés. A tangens esetében még határérték sem létezik. A 90 fok azon környezetében ahol ε kicsi (például legyen 10^-15.-iken illetve tetszőlegesen kisebb) 90-ε ahol minden ε > 0 minden határon túl növekszik. 90+ε esetében pedig minden határon túl csökken. Külön jobb és bal oldali határétéke van, melyek különböznek ezért határétéke nincs, nem tarthat egyszerre negatív és pozitív végtelenbe.

Jelen pillanatban legalábbis inkozisztensek a pontozások, egyik esetben 100% másik esetben 0% amikor ugyan arról beszélek, csak egyikben konkrétan kiemelve a tangen függvényt és az egyik helytelen hozzászólást. Természetesen minden kicsi ε > 0 esetében tangens(90-ε)-ról és tangens(90+ε)-ról írtam, úgy értendő, ha nagyon precízek akarunk lenni, de ez magától értetődő. Mondhattam volna példának az 1/x függvényt amit a másik hozzászóló írt, ugyanúgy nincsen határértéke ez esetben is ha x a 0-ba tart, csak bal és jobb oldali határértéke van, szintén az egyik oldali határértéke negatív a másik pedig a pozitív végtelenbe tart ... stb.

Nem feladatom minden helytelen, hozzá nem értő hozzászólást elemeznem, nem is fogom. A válasz megvan már a kérdező kérdésére. A matematikusok nem szószártyár óda írók. Egzaktul definiálva vannak ezen fogalmak a matematikában, ezer hozzászólást is írhatunk, a határérték számításban akkor sincs sehol ilyen áttérés, végtelen érték akkor sincs benne csak mint potenciális végtelen amit már definiáltam mit jelent.