Egy szakasz végtelen számú pontjai hogyan adhatnak véges (nem nulla) hosszt?

"Ha a szakasz hosszát úgy tekintjük, mint az őt alkotó pontok méretének összegét"

De miért tekintenénk úgy, ha egyszer egy pontnak nincs kiterjedése?

"Mi alkotja a szakaszt?"

A pontokon keresztül haladó vonal.

"mi ennek a feloldása?"

Szerintem az, hogy az nem mondható, hogy egy szakaszt végtelen sok pont alkotja - nem úgy keletkezik,

hanem azt mondhatjuk, hogy egy szakasz végtelen pontra osztható

Felveszek egy szakaszt - és elvként mondhatom, hogy végtelen sok pontra osztható.

> Ha a szakasz hosszát úgy tekintjük, mint az őt alkotó pontok méretének összegét, akkor az hogyan adódhat véges értéknek?

Valós számokon az összeadás egy kétváltozós művelet. Esetleg, ha nagyon akarod, kiterjesztheted tetszőlegesen sok véges változóra. Ahhoz, hog kontinuum sok dolog összegéről beszélj, meg kéne mondanod, hogy mi az. Például mondhatod azt, hogy kontinuum sok darab 0 összege legyen 0.

Ekkor a

> nulla méret * végtelen db = egy valamilyen véges érték.

nem egy paradoxon, hanem szimplán nem igaz az, hogy a szakasz hossza az őt alkotó kontinnum sok darab 0 hosszú pont hosszának az összege.

BTW érdemes megnézned a Banach–Tarski paradoxont:

[link]

Azt állítja, hogy "egy 3 dimenziós, tömör gömböt fel lehet vágni véges sok olyan darabra, amelyekből két, az eredeti gömbbel megegyező méretű tömör gömböt lehet összeállítani." (wiki) (Ezeknek a daraboknak persze nem értelmezhető a térfogata.)

Ez sem egy "paradoxon" csak egy meglepő tulajdonsága a világunknak (vagy, legalábbis a ZFC-nek, de az persze a világ része), mint mondjuk a bluggyhal vagy Ausztrália.

Sok félreértés van benne, de a paradoxon feloldása egyszerű.

A pontokat nem lehet összeadni. Se a vélt hosszukat, bármilyen is az.

Az összeadáshoz mindenekelőtt számba kell venni őket. De nem lehet, mert nem megszámlálhatók.

Nem egyszerűen végtelen sok pont alkotja, hanem megszámlálhatatlanul végtelen sok. De fordítva szokták megoldani: egy szakaszt egy egyenes mindig egy pontjában metsz. Két, egymást és a szakaszt metsző egyenes között haladó egyenes a szakaszt az előbbi kettő metszéspontja között metsz, tehát bármely két pont között a szakaszon lesz egy harmadik is.

A műveletes meggondolásod csak arra utal, hogy a 0*\infty művelet nem értelmezhető.