Lehetséges-e tetszőlegesen kiválasztott periodikus függvény előállítása más tetszőleges periodikus függvény Fourier-sor elvén való összegzésével azonosképpen, ahogy az a szinusz+koszinusz függvényekkel lehetséges?

Kíváncsiságból kipróbáltam, hogy mi történik ha a Fourier-sor együtthatóit nem a szinusz/koszinusszal való szorzat-integrállal csinálom, hanem más hasonszőrű ortonormált bázisokkal, pl két eltolt háromszögjel és fele-harmad-n-ed periódusú többszörösei, négyszögjel stb. és nem működnek. A lehetőségeikhez mérten követik a függvény alakját, de egyértelműen vannak rossz helyre konvergáló pontjaik amelyek sehány tag után se kerülnek közel.

Én simán el tudom képzelni amúgy, hogy a 3. opció a helyes. A waveletek nem felelnek meg a kérdező kritériumainak, ott a bázis nem egy alap periodikus függvény mezei felharmonikusaiból áll.

Látom kiemelted, úgyhogy én is visszatértem a kérdéshez, és ezúttal meg is találtam a választ: [link]

Nincs alternatívája a szinusz-koszinusznak. A 2π periódusú páratlan függvények terének egyetlen f_n(x) = f(nx) alakú (tehát egy alapfüggvény felharmonikusaiból képzett) teljes ortogonális bázisa az f = sin, páros függvényekre a cos ugyanígy. Bizonyítás a posztban linkelt pdf-ben.

Tehát a harmadik opció lett a befutó, amire 6-ból egyikünk sem tippelt. Érdekes kérdés volt, nekem legalábbis tetszett.