Az első 2n pozitív egész közül kiválasztunk n+1 számot: 1<=a1<=a2. <=2n. Bizonyítsa be, hogy a kiválasztott számok közt van 3 nem feltétlenül különböző: aj, ai, ak, hogy ai+aj=ak?

Teljes indukcióval fogunk bizonyítani.

Először nézzük meg n=2-re.

1-4-ig válasszunk ki három számot:

1-2-3

1-2-4-nél 1+1=2

1-3-4-nél 1+3=4

2-3-4-nél 2+2=4.

n=2-re igaz az állítás.

Tegyük fel, hogy n=k-ra is igaz,

vagyis

1,2,3,..., 2k számok közül k+1-et kiválasztva mindig előáll valamelyik a kettő másik összegeként.

És most lássuk be n=k+1-re.

1,2,3,..., 2k, 2k+1 és 2k+2 számok közül kell kiválasztani k+2 darabot.

Ha 1-2k között k+1-et kiválasztunk, akkor az indukciós feltevés miatt ott tuti, hogy lesz egy jó 3-as.

Ezért válasszunk onnan k darabot és amellé a 2k+1-et és a 2k+2-őt.

Az 1-et és a k+1 -et nem választhatjuk ki, mert akkor teljesül a feltétel.

A többi számot rendezzük el így:

2+2k

3+(2k-1)

...

k-1 + k+3

k + k+2

Ez k-1 db pár. Mivel ezek e közül k-t kell kiválasztani, ezért biztos, hogy valamelyik párból kettőt kell, vagyis teljesül a feltétel.

Biztos van egyszerűbb megoldás is, nekem most ez jutott eszembe :)

Valami nem OK a feladatban:

n = 2

a1 = a2 = a3 = 1

és 1+1 ≠ 1

n+1 különbözőt kell kiválasztani a 2n számból.

"A nem feltétlenül különböző" a 2. részre vonatkozik.

Azt mondja, hogy ebből az n+1-ből MINDIG kiválasztható VAGY 2 szám, hogy a+a=b VAGY 3, hogy a+b=c.

A kérdés 1. sora: 1<=a1<=a2... <=2n.

Egyáltalán nem különbözőt mond. A 2. sor csak megerősíti.