Elképzelhető a fizikában 2^s?

Tulajdonképpen valóban nem lehet mértékegységeket szorozni egymással (sem idővel, sem más mértékegységekkel). Illetve nem ilyen értelemben. De ezt is szépen leírtuk a másik kérdésnél. Persze van valami meditatív jellege ennek a repetatív vitának, így szívesen leírom újra, hátha másodszor érthetőbb lesz.

Vegyük a felületet. Ugye ennek m² a mértékegysége, ami azt sugallja, hogy m*m-ről van szó. A méter gondolom érthető. Borzasztóan leegyszerűsítve arról van szó, hogy valaki egyszer fogott egy rudat, levágott belőle egy darabot, és ráírta, hogy „ennyi egy méter”. (Hogy miért pont akkorát vágott le, az itt most részletkérdés.) A mérőszám is remélhetőleg érthető lesz, az tulajdonképpen egy arányszám, az, hogy az út 70 méter hosszú, az azt jelenti, hogy olyan hosszú, mint 70 darab egymás mögé fektetett méterrúd hossza, az út mértéke 70-szer nagyobb, mint a méterrúd.

A felület az más, azt nem lehet csak úgy rúddal mérni. Találjunk ki hozzá egy mértékegységet, nevezzük ezt mondjuk csempének, és legyen a jele „c”. A mérőszám meg azt fejezi ki, hogy az adott felület akkora, hogy x darab csempével fedhető le. Azt a kérdést, hogy mekkora is ez a csempe tulajdonképpen, azt a kérdést most hagyjuk egy rövid ideig nyitva.

Ha megnézzünk mondjuk egy téglalapot, akkor azt fogjuk találni, hogy azonos magasság esetén kétszer szélesebb téglalapnál kétszer akkora lesz a felület, kétszer annyi csempe kell a lefedéséhez. Azonos szélesség esetén meg ha háromszor akkora a magasság, akkor háromszor annyi csempe kell. Ha a téglalap „a” méter széles és „b” méter magas, valamit „c” csempe területű, akkor lesz két arányosságunk:

a ~ c

b ~ c

A felület két dolog *függvénye*, a magasságé és a szélességé. Ha most úgy definiáljuk a „csempe” mértékegységet, hogy akkora felület, amekkora felülete van egy 1 méter széles és 1 méter magas téglalapnak, akkor az egy eléggé jó definíció. (Így már kicsit hülyén hangzik a csempe szó, de sebaj.) Ebben az esetben ha egy téglalap x méter széles és y méter hosszú, akkor a felülete mindig x*y csempe lesz.

Valójában a szó szigorú értelmében nem a mértékegységeket szorozzuk össze, hanem a mérőszámokat. A hossz és a felület között viszont törvény áll fenn, a felület mértéke (mérőszáma) a szélesség és a hosszúság mértékének (mérőszámának) a szorzata:

x méter * y méter = (x*y) csempe

De ezt így leírni, elmondani hosszú és körülményes, és a legtöbb ember számára amúgy ösztönösen ki is alakul erről a helyes kép még óvodás vagy kisiskolás korban. Ezért is nincs túlragozva mindez az oktatásban. Mindenesetre találjunk ki valami tömörebb jelölésmódot a fentiekre. Ha két tulajdonság hasonló módon függ össze, akkor a mérőszámaik közötti függvényt, törvényt használjuk fel a mértékegységek jelölésére is: méter * méter = csempe. Figyelem, ez nem az a szorzás, ami a matematikában a számok szorzása, a jel ugyanaz, de a tartom más, ez pusztán egy rövidítés, egy jelölésmód, ami valójában az x méter * y méter = (x*y) méter összefüggését foglalja össze tömörebben. Viszont ezt használva a csempe máris feleslegessé válik, hiszen azt a mértéket, amit képvisel, ki lehet fejezni a hosszúság mértékével. Így lesz egy a fentiek tükrében értelmezhető, hogy az 3 m * 4 m = 12 m².

A dolog működik, konzisztens. Nem kiterjesztése ez a szorzás műveletének a mértékegységekre, hanem inkább úgy mondhatjuk, hogy a számok szorzásának analógiájára kapott értelmet a szorzás műveleti jel a mértékegységekre is.

De a rövid válasz tényleg az, hogy valóban nem lehet mértékegységeket összeszorozni a szorzásnak a számokra vonatkoztatott, matematikai értelmében.

"De a rövid válasz tényleg az, hogy valóban nem lehet mértékegységeket összeszorozni a szorzásnak a számokra vonatkoztatott, matematikai értelmében."

Igen, tehát az időre való hatványozás semennyivel se kevésbé nem létező, azt is lehet hasonlóan értelmezni.

> Egy korábbi kérdésemben felvetődött, hogy az alap mértékegységek valójában egy ortogonális (?) de legalábbis nemrelativisztikus esetben egyenes vonalú koordináta-rendszer egységvektorai.

Nézőpont kérdése. Nyilván mondjuk egy hőmérséklet skalár természetű mennyiség, de az felfogható egy egydimenziós térnek egy vektoraként is. Ha így értelmezzük a mértékegységet, akkor van itt némi probléma, mert egy háromdimenziós térben akkor három mértékegység lenne? Adott helyzetben megközelíthetünk egy problémát vektorokkal persze, és egy *adott irányú* távolságnál lehet ezt a távolságot egy egységvektor és egy skalár szorzataként érzelmezni.

Csakhogy a méter az iránytól független mértékegység. Nem beszélünk szélességméterről, magasságméterről, mélységméterről. A térben ehhez hozzájön az, hogy vannak transzformációk, vagy hogy a koordinátarendszer felvétele önkényes, a távolság, mint mennyiség, és a méter, mint mértékegység viszont irányfüggetlen. A mértékegység alapvetően nem egységvektor, hanem annak maximum csak a hossza.

> van értelme és szemantikus jelentése ezeket az egységvektorokat skalárokkal […] szorozni.

Skalárokkal nyilvánvalóan van értelme. Az más kérdés, hogy úgy egy vektort kapunk, a méter, mint mértékegység meg csak ennek a vektornak a hosszát jelenti.

> van értelme és szemantikus jelentése ezeket az egységvektorokat […] egymással szorozni.

Ugye kétféle szorzás van. Az egyik a vektoriális szorzat. Ennek eleve csak háromdimenziós térben van értelme. Márpedig ha elképzelünk egy kétdimenziós világot, felülete, területe abban is van egy téglatestnek, csak éppen vektoriális szorzat nem létezik. A vektoriális szorzat az a két tényező, mint vektor által kijelölt síkra merőleges, igaz a hossza az valóban a két vektor által kifeszített paralelogramma területe. De a vektoriális szorzat az vektor, a felület meg nem vektor, különben a felület is kifejezhető lenne méterben. Nota bene a vektoriális szorzás a számokra értelmezett szorzással ellentétben nem kommutatív, a hármas vektorszorzat nem asszociatív.

Ha most veszünk egy téglalapot, és a méter helyett egy vektort írunk be, akkor a téglalap oldalai:

a = 2 · (1; 0; 0) = (2; 0; 0)

b = 3 · (0; 3; 0) = (0; 3; 0)

A vektoriális szorzásból meg ez jön ki:

a×b = (0; 0; 6)

b×a = (0; 0; -6)

Ha meg egy egységoldalú kocka térfogata esetén közelítjük meg úgy a mértékegységet, mintha az valamiféle egységvektor lenne, akkor még sajátosabb dolgokat adna ez az értelmezés:

a = (1;0;0)

b = (0;1;0)

c = (0;0;1)

a×b×c = (1;0;0)×(0;1;0)×(0;0;1) = (0;0;1)×(0;0;1) = (0;0;0)

Őőő… Izé, egy egységkocka térfogata nem egy nullvektor, de nem is nulla m³.

Aztán ott van még a skaláris szorzat. Ott a két vektornak megint csak a hosszát szorozzuk össze és azt még megszorozzuk az egymással bezárt szög koszinuszával. Ez szerencsére már értelmezhető akár egy-, két-, vagy négy-, ötdimenziós terekre is. Viszont ez meg megint nem teljesen szorzás, hiszen a tényezők más természetűek, mint az eredmény. Igazából vektorpárok és valós számok közötti leképezésről van szó.

Nézzük így, mire megyünk vektorokkal:

a = 2 · (1; 0; 0) = (2; 0; 0)

b = 3 · (0; 3; 0) = (0; 3; 0)

A két vektor skalárszorzata:

a·b = 2*0 + 0*3 + 0*0 = 0

Hát így sem a téglalap területét kaptuk meg.

(Három vektor esetén, amik egy paralelepipedon oldalait reprezentálják, ott a térfogat pl. a vegyesszorzatnak, mint vektornak a hosszával lesz egyenlő. Nem a vegyesszorzatból kijövő vektorral, mert annak az iránya nagyban függ attól, hogy a vektorokat milyen sorrendben szoroztuk össze.)

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

> Ami pedig a 2^s dolgot illeti. Mondjuk azt, hogy 1s az egységnyi idő alatt eltelt és megfigyelhető időpontok (képkockák) száma, azaz darabmennyiség. Legyen ez a Planck időegység reciproka: 1/sp. Csak mondtam valamit.

Felesleges idekeverni a Planck-időt. Az is csak egy időtartam, az időnek egy másik mértékegysége. (Lényegtelen a kérdés szempontjából, de a Planck-idő az időnek nem kvantuma, így hogy a világ 1/2 Planck-időnként, vagy 3 Planck-időnként ágazik ketté, az egy tulajdonsága a világnak.) De oké, addig értem, hogy az elágazási események száma az darabszám, ami egy dimenzió nélküli mértékegység. Ez meg arányos az eltelt idővel, tehát lehet definiálni egy olyan tulajdonságot, hogy „elágazásgyakoriság”. Jelöljük mondjuk ezt rendhagyó módon a magyar ábécé egyik betűjével, á-val, ha már ágakról van szó. Ez az elágazásgyakoriság az elágazási események számának és az eltelt időnek a hányadosa, és ennek egy 1/s, vagy máshogy felírva egy s⁻¹ lesz a mértékegysége.

> 2^s pedig olyan időfa, ami másodpercenként 1/sp-szer ágazik ketté, és a kettéágazások ugyanígy rekurzívan kettéágaznak

És itt kezd értelmetlen lenni, amit mondasz. A 2^s az nem időfa. Az időfa az egy struktúra, egy hierarchia, vagy egy adott világnak egy jelensége, de nem mennyiség, nem tulajdonság. Az ágak száma az tulajdonság. Meg ahogy fentebb néztük, az elágazásgyakoriság is egy tulajdonság. Meg az időtartam is tulajdonság.

De akkor tisztázzuk le, jelöljük a világok számát mondjuk v-vel. Akkor az összefüggés ez:

v₁ = 2 * v₀

Ahol v₀ a világok száma egy önkényes időpontban, v₁ meg a világok száma egy elágazással később. Ebből remélhetőleg nyilvánvaló, hogy:

vₙ = 2 * vₙ₋₁

Így:

vₙ = 2ⁿ * v₀

Ahol vₙ az n darab elágazási esemény után a világok száma.

Eddig még minden mennyiség darabszám, dimenzió nélküli mennyiség. A kérdés az, hogy mennyi is ez az n.

n = á * Δt = á * (tₓ - t₀)

(Oké, itt azért lefele kellene kerekíteni, de ha t a két világelágazás között eltelt idő egész számú többszöröse, akkor jó a képlet.)

Remélem ez is érthető. Magának a elágazásgyakoriságnak a definíciójából következik ez, á = n / Δt, tehát az egységnyi idő alatti elágazások száma.

Azaz az elágazási események száma az eltelt időnek és az elágazásgyakoriságnak a szorzata. Mértékegységeket nézve:

s⁻¹ * s = 1

Ki is jött, hogy az elágazások száma az egy dimenzió nélküli egység.

Akkor ha t₀ időpontban a világok száma v₀, akkor tₓ időpontig e*tₓ elágazási esemény van, így a képlet így néz ki:

vₓ = 2^(á * (tₓ - t₀)) * v₀

Ha a világ 2 másodpercenként ágazik ketté, akkor nyilván az elágazásgyakoriság az 1/2 lesz:

á = 1/2 s⁻¹

Ha 10 másodperc telik el, akkor az időkülönbség 10 másodperc lesz:

tₓ - t₀ = 10 s

Ha a kezdeti időpontban mondjuk 3 világ van, akkor:

v₀ = 3

Behelyettesítve:

vₓ = 2^(á * (tₓ - t₀)) * v₀

vₓ = 2^(1/2 s⁻¹ * 10 s) * 3 darab

vₓ = 2^5 * 3 darab

vₓ = 32 * 3 darab

vₓ = 96 darab

10 másodperc alatt 5 világelágazás történik, így 2^5=32-szer több világ lesz, a világok száma a kezdeti 3 világból ennek a 32-szerese, azaz 96 darab lesz.

Nem, nincs itt sehol sem a képletben olyan kifejezés, ahol mértékegység szerepelne a kitevőben, nincs 2^s.

~ ~ ~

Maximum akkor tűnik úgy, ha a világ egységnyi idő alatt ágazna ketté, ott:

á = 1 s⁻¹

ami látszólag elhagyható lenne. Ha a mérőszámot nézzük, akkor valóban elhagyható. Ha viszont a mértékegységet nézzük, akkor nem feledkezhetünk meg róla.

Amúgy valamennyire értem a képkockás megközelítést. Csak ezzel az időt darabszámmá degradálod, darabszámmal fejezed ki. Így a kitevőben is darabszám lesz. Ha nem darabszámként érzelmezzük az időt, akkor az egy önkényes mértékegységű mennyiség, így mértékegységet kell adni az elágazások gyakoriságának is, hogy az mennyi a mértékegységhez képest.

> Süsü, ne csináljunk úgy, mintha csak a "hagyományos" skaláris meg vektoriális szorzat lenne. Jön a kérdésed, hogy akkor mi van még?

Lehet úgy általában tetszőleges műveletet definiálni bármire. Ezeknek lehet valami közös absztrakt gyökere, vagy lehet közöttük valamilyen olyan analógia, hasonlóság, ami miatt akár ugyanazt a műveleti jelet és/vagy ugyanazt a műveleti nevet használjuk rá. A számok szorzása, a vektorok szorzása, a halmazok szorzása teljesen más természetű, tartalmú művelet, de mégis van bennük valami közös jellegzetesség, ami miatt mindegyikre a szorzás nevet és jelet használjuk.

A mértékegységekre is lehet definiálni műveleteket, lehet ezt szorzásnak hívni, ugye a #21-es válaszomban szépen ki is fejtettem, hogy a mértékegységeknél mi a szorzás értelmezése.

De itt nem is ez a kérdés. A kérdés az, hogy a mértékegység az tekinthető-e vektornak, hogy vektorokra értelmezett műveleteket végezzünk rajtuk. A vektor irányított szakasz. A távolság meg szimplán csak szakasz, irányfüggetlen mértéke két pont viszonyának. Vannak persze vektor természetű tulajdonságok (sebesség, erő stb…), ahol nyilván a számítást meghatározza, hogy ezek vektorok, de a mértékegység ebben nem érintett.

~ ~ ~

> Nem kell belinkelnem a komplex számok kiterjesztéseit, ugye? Kvaterniók, októniók (octonions), (sedenions,) általánosan csak Cayley-Dickson féle "bionok".

A komplex számokat nem kell bemutatni, azt tanítják úgy általános egyetemi oktatás során (mi már középiskolában tanultuk). A többiről maximum hallomásból tudok, különösebben nem mélyedtem el benne.

De vedd észre, hogy ahol komplex számok felütik a fejét a fizikai tulajdonságok, mennyiségek területén, ott azok nem a mértékegységben, hanem a mérőszámban jelennek meg. Pl. váltakozó áram esetén, ahol a feszültség és az áramerősség között van fáziskülönbség, az ellenállásnak (vagy pontosabban az impedanciának) van egy valós és egy képzetes része. Pl.:

Z = 3 + 0,5i Ω

Ennek a mennyiségnek a vektor jellegű természetét nem a mértékegység, hanem a mérőszám fejezi ki, a mértékegység maradt az, ami az egyenáramnál megszokott ellenállás mértékegysége, ami jellegéből fogva nem vektor, hanem skalár.

Vagy attól, hogy egy test a (0; 0) pontból a (4; 3) pontba jutott el egységnyi idő alatt, attól még a megtett távolság 5 méter, a sebesség meg 5 m/s lesz.

Tehát ebből a szempontból irreleváns az, hogy léteznek komplex számok, meg azoknak a továbbgondolásai, a számkör bővítése.

~ ~ ~

> Egyébként az időhöz hasonlóan a métert is tudom darabszámra degradálni: egységnyi távolságban lévő két pont közötti megfigyelő által megkülönböztethető pozíciók száma. Viszont a tér nem ágazik el fa-szerűen,

(Amúgy ez az analógia is működne. Pl. ha egy végtelen sakktáblán veszem a mezőket, akkor a terület az tulajdonképpen a mezőknek a darabszáma lesz. A sakktábla meg egy olyan jelensége a világnak, amiben valamiféle két dimenzió mentén történő elágazásszerű dolog történik. Vagy egy bináris fát is szoktunk papíron, a papír kétdimenziós tere segítségével ábrázolni, tehát valóban lehet analógiát vonni a kettő között. De tulajdonképpen mikor méterrudakkal mérek egy távolságot, akkor egész mérőszámok esetén a méterrudak darabszáma adja a mérőszámot. De akár a hőmérsékletnél is a hőmérőn a skálabeosztást jelző rovátkák darabszámáról van szó. Aztán mindez kerül egy absztraktabb kiterjesztésbe, mikor egy mértékegységhez tartozó mérőszám negatív, tört, irracionális vagy éppen komplex szám lesz).

~ ~ ~

> Az időnél nem biztos, hogy ez a helyzet, sőt.

Ez ugye inkább hipotézis a fizikán belül, sőt mivel alapvetően falszifikálhatatlan kérdéskörről van szó, így inkább filozófiai természetű felvetés, ami a fizika nyelvén van megfogalmazva. De amúgy irreleváns, hogy valóban ilyen-e az idő. A mértékegységnek, mint fogalomnak a működése az azonos, függetlenül attól, hogy pontosan melyik mértékegységgel példálózunk, és milyenek pontosan a fizikai világ összefüggései. A méter akkor is méter, ha a világ 78 dimenziós, a másodperc meg akkor is másodperc, ha az idő elágazik, és akkor is ha nem. Vagy máshogy megközelítve ha mégsem ágazna el az idő a mi világunkban, elképzelni el tudunk egy olyan fiktív világot, ahol igen, és a mértékegységek jelentése ott sem lenne más.

> vₓ = 2^(1/2 s⁻¹ * 10 s) * 3 darab

> Ez helyes. Elő is jön a 2^s, meg nem is.

Nem jön elő. Ami a fenti képletben a kitevőben van az nem másodperc, hanem egy arányszám, ami történetesen egy darabszám, az elágazási események darabszáma. Hogy az elágazások időbeli periodikusságot mutatnak, egyenesen arányos az idővel, így felírható az időnek meg egy periodicitásnak a szorzatával, az más tészta.

> De csak azért tűnik dimenzió nélküli "álmértékegységnek" ez, mert darabszámra degradáltuk a másodpercet

Nem. Amit én leírtam, az pont nem degradálja le az időt darabszámra. Amit a #24-es válaszomban leírtam, ott az időnek következetesen másodperc a mértékegysége. Az általad álmértékegységnek nevezett mennyiségnek meg fizikai realitása van, az elágazási eseményeknek a darabszáma. Valós dologról van szó, valós mennyiségről, és alapvetően darabszám természetű mennyiségről. (De amúgy időelágazások helyett vehettük volna példának mondjuk az rendszeres időnkét megduplázódó nyúlpopulációt is, vagy akármit. Ott is ugyanez lenne a helyzet.)

~ ~ ~

Persze meg lehet bontani a képletet úgy, hogy:

vₓ = 2^(1/2 s⁻¹)^(10 s) * 3 darab

És mindjárt kitevőbe kerül egy tisztán másodperc mértékegységű mennyiség. De nem kell ehhez ennyi bűvészkedés. Erre hoztam fel példának, hogy:

F = m * a = √m * √m * a

Mértékegység szintjén meg:

N = kg * m/s² = √kg * √kg * m/s²

De ettől értelmes lett a √kg, mint mértékegység? Tessék itt egy krumpli. Ennek milyen tulajdonsága az, amit egy √kg mértékegység fejez ki? Mekkora mértéket kell elképzelni, mekkora is ez a √kg?

~ ~ ~

Tovább megyek:

A sebesség a megtett útnak az idő szerinti deriváltja. Egy egyenes vonalú egyenletes mozgást végző test nagyon jól jellemezhető egy állandó tulajdonsággal, a sebességgel. Itt a megtett út arányos az idővel, ezért lesz a sebesség mértékegysége m/s

A gyorsulás meg a sebességnek az idő szerinti deriváltja. Egy egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgást végző test szintén jól jellemezhető egy állandó tulajdonsággal, a gyorsulással. Itt a sebesség arányos az idővel, azért lesz a gyorsulás mértékegysége (m/s)/s.

Az már jelölési egyszerűsítés, hogy ebből aztán m/s² lesz. De… De ettől még így a klasszikus mechanika egydimenziós időkoncepciójában maradva a s², a négyzetmásodperc nem lesz egy értelmes mértékegység. Mert mekkora mondjuk 3 s²? Minek a mennyisége ez, milyen tulajdonság jellemezhető ezzel a mértékegységgel?

És ha már a vektorokba belecsúsztunk, külön érdekesség az egyenletes körmozgás. Ott ugye a sebesség változásánál előjön a sebesség vektoriális természete. Két időpont között a sebesség nagysága ugyanakkora lesz, de az irányuk más, így a két sebességnek a különbsége nem nulla lesz, hanem egy vektor. Így aztán a gyorsulás nem lesz nulla, hanem szintén egy vektor lesz. A vektorral jellemzett gyorsulás a kör középontja felé mutat, a nagysága meg a sebességkülönbség, mint vektor hossza. A testnek van gyorsulása. Viszont a kerületi sebesség állandó. Mert a sebesség bár vektormennyiség, a mértéke alatt annak csak a hosszát értjük. t₀ időpontban lesz egy test, ami 3 m/s sebességgel mozog, t₁ időpontban szintén 3 m/s sebességgel mozog, a gyorsulás viszont nem nulla, hanem mondjuk 2 m/s². Mert a sebesség nagysága változatlan, de a sebesség változik. Ez is rámutat arra, hogy a mértékegység csak nagyságot, ahogy a nevében is van mértéket fejez ki, irányt nem. A sebesség mértékegysége nem vektor. A sebesség az vektor, de a mértékegység nem.