Szerintetek lehet -e megoldása a "x=x+1" egyenletnek? (Pl. az egész számok halmazán) Ha lenne megoldása, akkor hányféle?

> Szerintetek lehet -e megoldása a "x=x+1" egyenletnek?

A ma elfogadott axiómarendszerek alapján nem hogy nem lehet, hanem nincs megoldása ennek az egyenletnek.

> Ha lenne megoldása, akkor hányféle?

Értelmetlen kérdés.

- Van-e lába a csigának.

- Nincs.

- De ha lenne, hány lába lenne?

- …

Ha kreálsz egy olyan axiómarendszert, amiben a fenti egyenlet értelmezhető, és van megoldása, akkor attól függ, hogy hány megoldása van az egyenletnek, hogy mik az axiómarendszered axiómái, hogyan definiáltad az összeadás műveletét, az egyenlőséget, mint relációt, stb… Persze attól, hogy kitalálsz egy új axiómarendszert, az abban értelmezett számokat még senki nem fogja „egész számok” néven nevezni.

~ ~ ~

> A természetes számok végtelenjének kardinális száma éppen "x"…

[…]

> De nem igaz magára a teljes halmaz számosságára (megszámlálhatóan végtelen számosságú), azaz a kardinális számára.

A végtelen nem része az egész számok halmazának. A határértékből megközelítve a ∞ nem számot, nem egzakt értéket fejez ki, hanem azt, hogy valami minden határon túl nő. A ∞ nem szám, hanem inkább jelleg. Pl. a ∞ nem egész és nem tört, nem páros és nem páratlan, stb… Mindezek nem értelmezhetők rá. Bizonyos műveletek és összefüggése értelmezhetőek ugyan (pl. hogy ∞+1=∞), de ehhez a műveleteket is újra kell kicsit értelmezni.

A halmazelmélet felől közelítve is ez a helyzet. Ott meg a végtelen azt fejezi ki, hogy az adott halmaz nem véges. Persze itt különböző végtelenek jelennek már meg, de ezek is a különböző halmazok közötti leképezésről szólnak. A végtelen (legyen szó ℵ₀-ról ℵ₁-ről, ℶ₁-ről, 𝔠-ről) esetén ugyanúgy értelmezhetetlenek bizonyos tulajdonságok, amik a számok esetén értelmezhetők. Itt is értelmezhetők bizonyos műveletek (pl. 2^ℵ₀=ℵ₁), de szintén a műveletek értelmezésének kibővítésével.

~ ~ ~

> Én úgy fogalmaznám meg, hogy (") irányított (") számok (a Vortex jelöléssel azt kívánom kifejezni, hogy a megnevezést valószínűleg én használom először, de nem vagyok biztos benne), azaz egyik oldalról zártak (a végtelen irányába nyitottak).

Ennek se füle, se farka, se értelme.

> Azaz ha a természetes számok számosságát "T"-vel jelölném, akkor "T-T=0" igaz lenne

Egyrészt miért jelölnéd T-vel, mikor ℵ₀ a szokványos jelölés és a T semmiben nem különbözik tőle?

Másrészt a ℵ₀-ℵ₀=0 nem igaz. A ℵ₀-ℵ₀ nincs értelmezve. Illetve ha két ℵ₀ számosságú halmaz különbségéről van szó, akkor a halmaz definíciójától függ, hogy a különbséghalmaz számossága mekkora. Lehet ez 0, 1, bármilyen véges szám, vagy akár ℵ₀ is. Attól függ, hogy mi a két halmaz. Még egyszer: a kardinális számok nem klasszikus értelemben vett számot – nem egy egzakt mennyiséget –, hanem számosságot fejeznek ki.

> A "Prokopf megközelítés" ettől különböző másik megoldást ad.

Nem tudom mit takar a Prokopf megközelítés. De gondolom arról van szó, hogy bár jó ideje teszel fel itt kérdéseket, mi szépen elmondjuk, hogy miért úgy hülyeség a dolog, ahogy van, de te mindezt ignorálva már „megközelítés” névvel hivatkozol rá.

Ugye x=x+1

Tehát ha kivonunk 1-et, akkor x-1=x

Azaz x-1=x+1

Következésképp x=x+2

x=x+1

Ezt mindenki inkább csak úgy írja, hogy x++

#12 > Következésképp x=x+2

Nagyszerű. Nyilván le lehet vezetni az x=x+1 egyenletből sok dolgot, de ettől még nulla darab olyan egész szám van, ami az eredeti egyenletnek megoldása, így nulla darab olyan egész szám van, ami az x=x+n egyenletnek eleget tenne.

#13 > x=x+1

> Ezt mindenki inkább csak úgy írja, hogy x++

Ez meg nem matematikai, hanem informatikai, programozói jelölés. Itt az egyenlőség jellel nem egyenlőséget fejezünk ki, hanem értékadást, az x meg nem ismeretlent, hanem változót takar. Az x változó új értéket kap, ami történetesen az előző értékből számolódik ki. Nota bene néhány programozási nyelv – pl. a Pascal – a matematikai szempontból egy kicsit korrektebb := jelet használja az értékadáshoz. A ++ is csak egy informatikában használt rövidítés, gyakorlatilag az x:=x' rövidítése, ahol ' a szukszceszor (rákövetkezés) műveletét jelenti. Pl. a már emlegetett Pascal nyelvben nincs ilyen, ott egy eljárás van erre: inc(x), ahol az inc a paraméterként átadott változó értékét növeli eggyel.

A jeleket bár a matematikából kölcsönözték a programnyelvek, de a jelentés más. Egy C nyelven írt programban az x=x+1 nem egyenlet, az x nem ismeretlen, így nincs is mit rajta megoldani.