Hány megoldása van az x^3+y^3+2x^2+2y^2+x^2y^2+3x^2y+3xy^2+4=0 egyenletnek, ha x és y egész számok?

Ha nagyon nincs ötletünk, akkor érdmes bebiggyeszteni WolframAlphába:

[link]

Ez azt mutatja, hogy összesen 1 megoldás van, ami viszont nem egész, tehát nem lesz egész megoldása.

x³+y³+2x²+2y²+x²y²+3x²y+3xy²+4 = 0

Gyanús szimmetria, így némi átrendezés után:

(x³+y³+3x²y+3xy²) + (x²y²+2x²+2y²+4) = 0

Szorzattá alakítás:

(x+y)³ + (x²+2)(y²+2) = 0

Ha x páros és y páratlan, akkor:

(x+y)³ + (x²+2)(y²+2)

= (páros + páratlan)³ + (páros² + 2)(páratlan² + 2)

= páratlan³ + (páros + 2)(páratlan + 2)

= páratlan + páros*páratlan

= páratlan + páros

= páratlan ≠ 0

Ergo nem lehet ilyen megoldás, hiszen a nulla nem páratlan.

Hasonló logikával belátható, hogy akkor sem, ha x páratlan és x páros.

Ha x és y is páratlan, akkor:

(x+y)³ + (x²+2)(y²+2)

= (páratlan + páratlan)³ + (páratlan² + 2)(páratlan² + 2)

= páros³ + (páratlan + 2)(páratlan + 2)

= páros + páratlan*páratlan

= páros + páratlan

= páratlan ≠ 0

Ergo ez sem lehet megoldás.

Nézzük, hogy mi a helyzet, ha x és y is páros. Ekkor:

(x+y)³ + (x²+2)(y²+2)

= (páros + páros)³ + (páros² + 2)(páros² + 2)

= páros³ + (páros + 2)(páros + 2)

= páros + páros*páros

= páros + páros

= páros

Ergo ha van megoldása a feladatnak, akkor az csak úgy lehet, ha x és y is páros.

~ ~ ~

Oké, írjuk fel akkor x-et és y-t kicsit máshogy:

n := x/2

tehát x = 2n

m := y/2

tehát y = 2m

Mivel x és y is páros, így n és m egész szám lesz.

(x+y)³ + (x²+2)(y²+2) = 0

(2n+2m)³ + (4n²+2)(4m²+2) = 0

Bontsuk ki a zárójeleket:

[2(n+m)]³ + 16n²m² + 8n² + 8m² + 4 = 0

8(n+m)³ + 16n²m² + 8n² + 8m² = -4

És most osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 8-al:

(n+m)³ + 2n²m² + n² + m² = -1/2

Az egyenlet bal oldalán csak olyan részműveletek vannak, amiknek a részeredményei mindig egészek maradnak. Emiatt a bal oldali kifejezés biztos, hogy egész lesz. Viszont az egyenlet jobb oldalán nem egész szerepel, így ez az egyenlet soha nem lesz igaz, máshogy fogalmazva nincs olyan egész n és m, ami megoldása az egyenletnek, így nincs olyan egész x és y sem, ami az eredeti egyenletnek megoldása lehetne.

A válasz tehát a kérdésre: 0 darab olyan megoldása van a kérdésben szereplő egyenletnek, ahol x és y egész számok.