(-1) n-edik gyökeire a komplex számok halmazán igaznak kell -e lennie az alábbi feltételezésnek? A képzetes egység (i, v. -i) csak úgy teljesítheti a gyökvonás műveleti elvárásait, ha polarizálhatósága a műveleti számossággal megegyező és határozott

Mit jelent valós számoknál az előjel? Miben különbözik a -3 és a +3? A távolság – amit a szám abszolút értéke fejez ki – az origótól ugyanaz, csak a számegyenes másik irányában van. A nullát nem számítva az előjel egy {+, -} halmazból vehet fel értéket.

Komplex számoknál ugyanez a helyzet. Egy komplex szám abszolút értéke az origótól vett távolság:

| a+i*b | = √(a²+b²)

(Ahol a √ jel a négyzetgyököt jelenti, aminek megvan az a speciális definíciója, hogy az mindig egy nemnegatív számot jelent.)

Ami a valós számnak az előjel, az a komplex számnál a komplex számmal reprezentálható vektor irányát jelenti az x tenger irányához képest. Ez ]-π, π] vagy ha úgy jobban tetszik [0, 2π[ intervallumban vehet fel értéket. (Nyilván egy teljes szöggel való elforgatás nem változtat az irányon.) (Bár a ]-π, π] a gyakoribb jelölés, a könnyebb érthetőség miatt én a [0, 2π[ intervallumot fogom lentebb használni.)

Ugye egy komplex szám felírható trigonometrikus alakban is:

z = r * (cosφ + i*sinφ)

Meg felírható exponenciális alakban is:

z = r * e^(i*φ)

(Lásd: Euler-képlet)

~ ~ ~

Nézzük meg elsőre a negációt. Ugye egy szám negáltja az a szám, amivel az eredeti számot összeadva 0-t kapunk. Ha megnézed, egy komplex szám negáltja nem más, mint az origó körüli π-vel való elforgatás. Ez teljesen összhangban van az előjellel. Ugye a valós számok az x tengelyen helyezkednek el, a + előjelnek a 0 szög, a - előjelnek a π szög felel meg.

-(+) = (-) → 0 + π = π

-(-) = (+) → π + π = 2π → 0

~ ~ ~

Oké. nézzük meg, mi történik, ha két komplex számot összeszorzunk:

z₁ * z₂ =

= r₁*e^(i*φ₁) * r₂*e^(i*φ₂) =

= r₁r₂ * e^(i*(φ₁+φ₂))

Tehát az irányszögek összeadódnak.

Ez is teljesen összhangban van a valós számok előjelével:

(+)*(+) = (+) → 0 + 0 = 0

(+)*(-) = (+) → 0 + π = π

(-)*(-) = (+) → π + π = 2π → 0

~ ~ ~

Ha megnézzük, akkor az x³=1 egyenlet megoldásai, azaz komplex számok halmazán a ∛1 gyökei:

x₁ = e^(i * 0 * 2π/3) = e^0 = 1

x₂ = e^(i * 1 * 2π/3) ≈ -0,5 + i*0,8660

x₃ = e^(i * 2 * 2π/3) ≈ -0,5 - i*0,8660

Ezeket köbre emelve ezt kapjuk:

x₁³ = e^(i * 0 * 2π/3 * 3) = e^0 = 1

x₂³ = e^(i * 1 * 2π/3 * 3) = e^(2π) = e^0 = 1

x₃³ = e^(i * 2 * 2π/3 * 3) = e^(4π) = e^0 = 1

Tehát a 0°-ot megszorozva 3-mal 0°-ot kapunk. A 120°-ot megszorozva 3-mal 360°-ot kapunk, ami irányként azonos a 0°-kal. A 240°-ot megszorozva 3-mal 720°-ot kapunk, ami irányként szintén azonos a 0°-kal.

~ ~ ~

Szóval röviden és tömören ami a valós számoknál az előjel, ami egy kételemű halmazból kerül ki, az a komplex számoknál az irány, ami egy folytonos intervallum.

folyt. köv…

És akkor folytatásként nézzük meg mi a gond a te rajzlapos megközelítéseddel.

0. probléma: Az, hogy a szám melyik rajzlapon van, az nem reprezentálja a komplex szám semmiféle tulajdonságát, és nem is reprezentálódik a komplex számban. Így váltott jelöléssel ellátott rajzlapokat képzelni a komplex számsík alá az pont annyira önkényes, mint az Északi-középhegység domborzati térképét képzelni alá. Te a valós számokkal való analógiával vettél – az előző válaszban taglalt okok miatt – egy hibásnak tűnő koncepciót. Ez önmagában nem feltétlenül probléma, de nézzük meg, hogy mi jön ki ebből a koncepcióból.

1. probléma: Egy valós számnak három köbgyöke van. Nincs közöttük sorrendiség. Mindhárom egyformán teljesíti azt az egyetlen egy meghatározó kritériumot, hogy a harmadik hatványuk ugyanannyi. Az oké, hogy az ember mégiscsak választ sorrendet a leírásukhoz, mondjuk az irány alapján, de ez a sorrend teljesen önkényes. Meg az is oké, hogy eshet egy-egy gyök valamelyik tengelyre, vagy lehet egész, de a vizságlat szempontjából ez irreleváns, pl. egy ∛(1+i*2) esetén pl. egyik sem lesz sem egész, sem valamelyik tengelyre eső.

2. probléma: Egy szám tulajdonságát lehet valamilyen művelet alapján definiálni. Pl. megkülönböztetünk páros, meg páratlan számokat a 2-vel való oszthatóságuk alapján. Vagy megkülönböztetünk prímszámokat úgy általában a szorzás műveletéből fakadóan. De előbb kell definiálni egy tulajdonságot egzakt módon, és utána lehet csak ezen tulajdonság összefüggéseit vizsgálni ilyen-olyan szempontból. Nálad az a gond, hogy valamilyen nem levezetett, hanem vélt összefüggések alapján próbálsz egy tulajdonságot visszakövetkeztetni, amely tulajdonságnak nem tudsz egzakt definícióját adni. És itt ugye az a helyzet, hogy egy szám sokféle művelet eredménye lehet. A 2 az nyilván √4 is, meg ∛8 is, meg ⁴√16 is. Az egyik nem jobban, mint a másik. Lehet ebből valamiféle általános definícióját adni annak, amit polaritásnak nevezel? Mert (6,83+i*12,76) valaminek a második, másvalaminek meg a harmadik, megint másvalaminek meg negyedik hatványa, amelyekre ugyanúgy nem tudod definiálni a polaritás fogalmát.

1+2. probléma együtt: Oké, azért önkényesen vegyük sorba egy szám gyökeit mondjuk irány alapján. Mert miért ne. Ha nincs fix pontunk, csináljunk egyet, mondjuk azt, hogy ∛1 esetén – meg úgy általában ⁿ√1 esetén – az első rajzlapra az 1 kerül, a második rajzlapra a -0,5 + i*0,866, a harmadik rajzlapra a -0,5 - i*0,866. Remek. De ha a ⁶√1-et vesszük, akkor a -0,5 + i*0,866 mindjárt nem a harmadik, hanem a negyedik rajzlapra kerül. Ha a ⁹√1-et, akkor meg az ötödikre. Ugyanaz a szám más és más rajzlapra kerül, a művelet paraméterétől függően, így ez nem a szám önálló tulajdonsága, hanem a számnak és a paraméternek (a gyökvonás kitevőjének) az együttes függvénye. Márpedig a -0,5 + i*0,866 nem jobban a harmadik gyöke az 1-nek, mint a hatodik gyöke, vagy a kilencedik gyöke.