Azzal, hogy a komplex számok halmazában több megoldása lehet egy gyökvonásnak nem veszik el információ?

Te érted a kérdésed?

Megpróbálnád emberi nyelven megfogalmazni?

Ráadásul helyesen leírva?

A komplex számokon a gyökvonás többé nem művelet, tehát nem az van, hogy bedobsz egy számot és kijön egy másik.

A pozitív valós számoknál is egy önkényes választás, hogy a gyök a nemnegatív szám. Hiszen pl mind a gyök2-re, mind ennek a -1-szeresére, a -gyök2-re is igaz, hogy a négyzete éppen 2. Csak önkényesen a pozitívat választottuk, és pont ezzel rontottuk el a szimmetriát.

Ugyanilyen önkényesen kijelölhetnénk egyet a komplex gyökök közül is (a komplex gyökvonásnál), de nem lennénk vele előrébb.

A gyökvonás a hatványozás egyik inverz művelete:

aⁿ = b

A hatványozásnál ismerjük a-t és n-t, ebből a hatványozás műveletével kapjuk meg b-t. A gyökvonás esetén ismerjük b-t és n-t, és ebből kapjuk meg a-t. Illetve nem teljesen…

Ha megnézzük az x²=9 egyenletet, ennek két megoldása van:

x₁ = 3

x₂ = -3

Tehát a 3² és a (-3)²-nek is 9 az eredménye, ha a (b=9) -et és a kitevőt (n=2) ismerjük, akkor két olyan „a” szám is van, ami esetén aⁿ = b.

Tehát elvileg definiálhatnánk a valós számokra is úgy a gyökvonás műveletét, hogy egy számnak két négyzetgyöke is lehessen. Sőt ez lenne tulajdonképpen a magától értődőbb.

Viszont számos esetben mikor valós számokon végzünk műveletet – pl. egy konkrét fizikai képlettel számolunk –, akkor nemnegatív valós számok halmazával dolgozunk. Pl. a távolság mindig nemnegatív érték, ha pl. ki akarjuk számolni, hogy a nehézségi gyorsulás a földfelszíntől milyen távolságra egyenlő 4,9 m/s²-tel, akkor egy nemnegatív eredményt várunk. A negatív eredmény a Föld átellenes pontját jelentené, azt az eredményt értelmezve a pozitív gyökkel ekvivalens eredményt kapnánk.

Egyszerűen praktikusabb volt a gyökvonást úgy definiálni, hogy az egy nemnegatív számot jelentsen, mint minden esetben abszolút érték jelek közé tenni a gyökvonást. Azon – ritkább – esetekben, mikor a negatív eredmény is lényeges, ott egyszerűbb kitenni a ± jelet a gyökjel elé.

Tehát annak, hogy egy szám négyzetgyöke alatt azt a *nemnegatív* számot értjük, aminek a négyzete a szám, annak nem matematikai természetű, hanem praktikus oka van. Nem matematikai számítás eredménye, hanem emberi döntés, önkényes definíció eredménye, hogy egy szám gyöke alatt a nemnegatív gyököt értjük.

A komplex számok esetén a különbség annyi, hogy nincs ez a „nemnegatív” kitétel. Nem is nagyon lehet, lévén nem számegyenesről, hanem számsíkról beszélünk.

A kérdés értelmezhetetlen mindaddig, míg nem tisztázott, a kérdezőnek mi az az "információ", ami esetleg elveszhet.

A valós számok halmazán a gyökvonás a hatványozás inverze, ha ezt függvényként kezeljük, akkor megállapítható, hogy két alapvetően eltérő eset van, mégpedig a kitevő páros páratlan értéke (bár értelmezhető tetszőleges valósként is, csak ez messzire vezet, és nem valószínű, hogy a kérdező erre gondolt).

Mindkét esetben az x^n=a egyenlet gyökvonással történő megoldását keressük gyökvonással. Ez nem egyéb, mint a hatványfüggvény és a konstans lineáris függvény metszéspontja, tehát páros kitevőre mindig kettő, páratlanra mindig egy megoldás van. Az "információvesztés" egyszerűen nem értelmezhető.

A komplex számok síkján a hatványozást szorzások sorozataként értelmezve nyújtva forgatásként fogalmazhatjuk, és hasonló eredményt kapunk azzal a kitétellel, hogy a komplex számok halmazán bizonyos esetekben a műveletek nem értelmezhetők. Itt se értelmezhető az információvesztés.

Középiskolában előfordul, hogy páros hatványok esetén fizikai reprezentációra hivatkozva csak a pozitív megoldást tekintjük megoldásnak, ekkor egyes matematikatanárok hiányolhatják a matematikában lehetséges negatív megoldást is. A diákok ezt gyakran nevezik - tévesen - "információvesztésnek". A komplex eset itt elő sem jön, felsőbb iskolákban pedig a komplex számot trigonometrikus alakban felírva értelmezhetők az eredmények, ez azonban az értelmezési komplikációk miatt itt feltehetően elő se jöhet.

A kérdező olvashatott valamit, amiből sok mindent nem értett, de még azt sem sikerült megfogalmazni, mit nem.