Honnan tudhatjuk biztosan, hogy 1 a legkisebb pozitív egész szám?

Nem értek a témához bocsi, de hogy lehetne? Hát vagy van valami(1),vagy nincs (0) semmi.

Szóval nem lehet olyan hogy csak félig van valami. Hát nekem józan paraszti ésszel ez jött ki.

Ha az 1-est halmazelmélettel definiáljuk, akkor definíció miatt:

[link]

Ha azt vesszük, hogy az 1-es a multipliktív identitás, és a 0 az összeadás identitása, akkor nehezebb bebizonyítani, hogy a kettő között nincsen egy másik pozitív egész szám.

Ilyenkor belefuthatunk abba, hogy mik is az egész számok. Nem tudom matematikailag a definíciót rájuk, de azt tudjuk, hogy összeadásra, és kivonásra zárt ez a halmaz. Viszont ehhez a halmazhoz hozzávéve a feles értékeket (0.5, 1.5, 2.5, -1.5 ...) szintén zárt lesz ez a halmaz a műveletekre.

In conclusion szerintem amiatt 1 a legkisebb pozitív egész szám, mert az egész számokat úgy definiáljuk, ahogy.

Azt tudjuk, hogy a számok 2-es maradékai katonás rendben követik egymást; 0,1,0,1,... Ha a 0 és az 1 között van 1 egész szám, akkor legalább 2-nek kell lennie, hogy ez a 0,1,0,1,... megmaradhasson.

Ugyanez igaz a 3-as maradékokra; 0,1,2,0,1,2,..., emiatt a 0 és az 1 között legalább 3 számnak kell lennie, hogy a sorrend megmaradhasson.

A 4-es maradékok: 0,1,2,3,0,1,2,3, emiatt a 0 és az 1 között legalább 4 számnak kell lennie.

És így tovább, ez az összes maradékosztályra eljátszható. Ez alapján 0 és 1 között VÉGTELEN SOK egész számnak kell lennie, ami eléggé valószínűtlen.

A hármas válaszoló példájában az is kitűnik, hogy a nulla és az egy között lévő feltételezett egész számok száma egyszerre kellene, hogy páros és páratlan legyen.

Ez elég ellentmondásos.

5-ös, de nem úgy van definiálva... Persze, akármit akárhogyan lehet definiálni, de "egész szám" alatt mindenki tudja, hogy miről van szó, azt szabadon nem lehet átírni. Vagy ha átírjuk, akkor nem az eredeti feladatra adunk választ.

Teljesen mindegy, hogy mik a történelmi okok. A matematikában az a szép, hogy egyébként triviális dolgokat is kell tudnunk bizonyítani. Sőt, van az úgy, hogy ami egyébként triviális, az nem feltétlenül az. Például az 1 szám más alakban is felírható: 0,999..., ahol végtelen sok 9-es van, tehát a pozitív egész számok kétféle decimális alakban is felírhatóak.

#6os

Pont ez a lényege annak amit mondtam. Hogy amiatt az 1 a legkisebb egész szám, mert az egész számok úgy vannak definiálva.

És egyébként sokkal hasznosabb definiálni valamit a belső struktúrájával, minthogy felsoroljuk az elemeit. Hiszen ilyenkor ha találunk egy azonos struktúrájú halmazt, akkor tudjuk az összes eredeti tétel igaz rá. Lásd például a vektortereket, vagy például a topológiát.

7-es, ha már ilyen nagy ívű kifejezéseket dobsz be, akkor valószínűleg már foglalkoztál magasszintű matematikával, így viszont furcsálom, hogy a kérdést elintézed annyival, hogy "mert így van és kész".

Azért, mert valami valahogyan definiálva van, abból nem feltétlenül következik bármi is, azt külön vizsgálni kell.

Definiáljuk az természetes számokat halmazelméleti módon, azaz:

0={}

1={0}

2={0,1}

3={0,1,2}

.

.

.

A 0 az egységelem, a negatív számok pedig a természetes számok összeadásra vett inverzei, azaz minden természetes ,a'-hoz létezik egyértelműen ,-a', hogy a+(-a)=0

Ezzel definiálva vannak az egész számaink.

Pozitívnak azt mondjuk, ami nagyobb 0-nál.

Vegyük azt a rendezést, hogy a < b, ha ,b' tartalmazza ,a'-t, ami a halmazelméletes definícióval egyértelmű, és egy rendezés lesz.

---

Lássuk be, hogy a természetes számok nagyobbak 0-nál:

Vegyünk egy tetszőleges természetes számot, legyen ,n'.

Definíció alapján n={0,1,..,n-2,n-1}.

Ez a halmaz tartalmazza a 0-t, azaz n>0.

---

Lássuk be, hogy az additív inverz számok kisebbek 0-nál.

Vegyünk egy ilyen számot, legyen ,-a', és ez a ,a' számnak az additív inverze.

Ekkor tudjuk, hogy:

a > 0 /+(-a)

a + -(a) > 0 /összeadás és a rendezés definíciója miatt

0 > -a

---

Megvan, hogy a természetes számok nagyobb egyenlőek mint nulla, az inverzek meg kisebbek. Már csak be kell bizonyítani, hogy nem létezik olyan természetes szám ,b', amire igaz, hogy 0<b<1.

Mivel a számokat úgy építettük fel, hogy

0={}

1={0}

2={0,1}

.

.

.

Emiatt láthatjuk, hogy minden természetes szám ,b', ami nem az

1 vagy a 0, az tartalmazza az 1-et, és a 0-t is, azaz 0<b, 1<b.

Tehát 1 a legkisebb egész szám, ami nagyobb 0-nál.

#8-as, megfelel a bizonyítás. Az ilyen lépéseket kihagytam, mint a rendezés ellenőrzése, hogy tényleg rendezés.

Most látom, hogy itt elírtam picit

======

Ekkor tudjuk, hogy:

a > 0 /+(-a)

a + -(a) > 0 /összeadás és a rendezés definíciója miatt

0 > -a

=======

Ehelyett ez kell

======

Ekkor tudjuk, hogy:

a > 0 /+(-a)

a + -(a) > 0 + (-a) /összeadás és a rendezés definíciója miatt

0 > -a

======