Hogy lehet kiszámolni, pontosan hány megoldása van a y^2=x^3+17(mod17) -nek?

Annyit kell csak csinálnod, hogy 0-tól 16-ig megnézed, hogy a számok négyzete és köbe mennyi maradékot ad 17-tel osztva (a jobb oldalról a +17 nyugodtan elvehető):

0: 0 0

1: 1 1

2: 4 8

3: 9 10

4: 16 13

5: 8 6

6: 2 12

7: 15 3

8: 13 2

9: 13 15

10: 15 14

11: 2 5

12: 8 11

13: 16 4

14: 9 7

15: 4 9

16: 1 16

A táblázatban ahol egyenlőséget találsz, azok lesznek a megoldások. Nem kell feltétlen egymás mellett lenniük a számoknak, csak különböző oszlopban. Például az y=3 és az x=15 esetén 9-9 a maradék, tehát azt mondhatjuk, hogy

ha y kongruens 3 mod(17), akkor x kongruens 15 mod(17), és ez az eredeti kongruencia egyik megoldása.

Tehát csak annyi a dolgod, hogy megkeresed a két oszlopban egyenlőket, és páronként felírod a megoldáshalmazt, kongruenciákban (lehet máshogy is, például ha y=17k+3 alakú, ahol k tetszőleges egész, akkor x=17l+15 alakú, ahol l tetszőleges egész, de kongruenciával felírva egy kicsit szebb, szerintem).

Nem vagyok nagy számelméletész, így lehet, hogy a körmöléses megoldásnál van elegánsabb megoldás is, de ha más ötletünk nincs, ez is megteszi. Bár amennyire "össze-vissza" vannak a megoldások, lehet, hogy más alternatíva nincs, vagy ha van is, nem adja meg az összes megoldást.