Ha adott három vektor, amiknek a páronkénti vektoriális szorzataik megegyeznek, akkor hogyan lehet belátni hogy az összegük 0?

axb = bxc = cxa

a x (a+b+c) = axa + axb + axc = 0 + axb - cxa = 0

b x (a+b+c) = bxa + bxb + bxc = -axb + 0 + bxc = 0

c x (a+b+c) = cxa + cxb + cxc = cxa - bxc + 0 = 0

Ez csak akkor lehet, ha a+b+c nullvektor, vagy párhuzamos mind a, b, c-vel. Ez utóbbi esetben a páronkénti keresztszorzatok nullák, de a+b+c nem feltétlen, szóval pongyola a feladatkiírás.

A feladat: "adott három vektor" ezek vagy párhuzamosak vagy nem. Ezek nullvektorok vagy nem. Ha kikötjük, hogy nem párhuzamosak, akkor persze nullvektorok se lehetnek.

Az #1 által leírt megoldás lényege, hogy a feladatbeli megszorításokat felírja a+b+c vektorra is. Az derül ki, hogy bármely ilyen páros vektorszorzata nulla. Két vektor szorzata akkor nulla, ha vagy legalább egyikük nullvektor, vagy párhuzamosak.

Ha a, b, c egyike sem nulla, akkor szükségképpen a+b+c vektor nullvektor. Vagy lehetnének párhuzmosak is, ekkor, mivel a,b,c külön külön párhuzamos egy negyedikkel (a+b+c) így egymással is.

Tehát ha kikötjük, hogy a három vektor nem párhuzamos, akkor csak az összegük nullvektor esete jó. Ha nem kötjük ki, akkor megoldás az is, hogy a három vektor párhuzamos.

Tehát szigorúan a kérdésben leírt feladatra: minthogy ott nincs kikötve a párhuzamosság tilalma, így az is megoldás (ezért az állítás "összegük csak nulla lehet" hamis). Ha kikötjük, hogy a vektorok nem párhuzamosak, akkor ez a lehetőség kiesik, tehát az állítás igaz.

Nem igaz az az állítás, amit a kérdésbe kiírtál, hiszen három párhuzamos, nem 0 összegű vektor ellenpélda az állításra (például mind a három vektor ugyanaz, nem 0).

A feladatgyűjteményben más állítás szerepel, és #1 pedig be is látta.

- - -

Egy másik megközelítés: legyen b és c nem párhuzamos, és axb = bxc = cxa. (Számít a sorrend.)

A vektorszorzás linearitásából és a feltételből:

: (a+b)xc = 0

: (a+c)xb = 0

: (b+c)xa = 0

azaz bármely 2 vektor összege párhuzamos a harmadikkal. Innentől csak ezt használjuk. Ekkor

: a+b = xc, és

: a+c = yb.

Kivonva ezeket egymásból, és használva az egyértelmű felbontás tételét x = -1 adódik, azaz

: a+b = -c,

amit be akartunk látni.