Differenciálszámítás "paraszt" nyelven?

A helyzet az, hogy amikor én matematikát tanulok, akkor a fogalmakat igyekszem valahogy "paraszt nyelven" megfogalmazni/elképzelni úgy, hogy a precizitás ne vesszen el, ugyanazt jelentse SZÁMOMRA, mint a "kevésbé érthető" definíció.

Mondok két példát:

Halmaz határpontja metrikus térben: Elképzelek egy gömböt és annak a felülete a gömb határpontjainak halmazát. Ugye mi ennek a tulajdonsága? Ha veszek egy pontot a gömbfelületről, és azzal a középponttal veszek akármilyen kis gömböt, annak a gömbnek mindig lesz közös pontja az eredeti halmazommal és a komplementerével is.

Egy ilyen gondolatból már jöhet a precíz definíció simán:

Legyen (X,d) metrikus tér, H részhalmaza X-nek. p eleme X-re azt mondjuk, hogy határpontja H-nak, ha bármely e>0 esetén az U(p,e) ^ H és U(p,e) ^ H komplementere sem üres halmazok. (U(p,e) a p középpontú e sugarú nyílt gömb)

Másik példa, folytonosság: Egy f függvény folytonos az értelmezési tartományának p pontjában, ha akármilyen környezetét vesszük f(p)-nek, létezik p-nek olyan környezete, hogy abból minden (értelmezéstartománybeli) x f(p)-nek az adott környezetébe képez.

Precízen: Legyen (X,d1),(Y,d2) metrikus terek, D részhalmaza X-nek, f: D --> Y leképezés, p eleme D.

Azt mondjuk, hogy f függvény folytonos a p pontban, ha minden e>0 esetén létezik k>0 úgy, hogy ha x eleme D és d1(x,p) < k ----> d2(f(x),f(p)) < e.

És akkor a lényeg: Hogyan lehetne ilyen "paraszt" módra átírni a Fréchet deriváltat?