Hogy lehet megoldani változó fokú differenciálegyenleteket?

Először is vezessünk be egy új (lineáris operátort vagy) függvényt:

S(f(x);0;x) = f(x)

S(f(x);1;x) = f'(x)

S(f(x);|n|;x) = f^(|n|)(x) (|n|. derivált)

S(f(x);-1;x) = int f(x) dx

S(f(x);0;x) = f(x)

A harmadik argumentum azt jelzi, hogy mi szerint deriválunk/integrálunk, ez egész nyugodtan lehet egy függvény is, nem csak egy változó, de ez esetünkben nem annyira érdekes.

Meghatározható néhány függvény z. deriváltja/integrálja, ahol z lehet komplex is:

S(x^z;z;x) = z! (amit ugye a gamma-függvénnyel szoktunk kiszámolni)

S(1÷x;z;x) = (-1)^z * z! * x^-(z+1)

S(exp(ax);z;x) = a^z * exp(conj(a)*x)

S(c;z;x) = c÷(x^z * (-z)!)

Az utolsó kettőre magamtól jöttem rá :) .

Egyébként még arra is rájöttem, hogy:

S(f;f;f) = f^(1-f) ÷ (-f)!

Dióhéjban ennyi. És akkor most jön a lényeg, hogy tudunk általánosan megoldani egy

S(y(x); f(x); x) = g(x)

alakú egyenletet? (Tehát az y-nak az f(x). x-szerinti deriváltja/integrálja g(x).)

Vegyünk most egy olyan egyszerű példát, hogy S(y;x;x) = c (konstans)

Én úgy indultam neki, hogy feltételeztem, hogy az y függvényünk exp(ax) alakú, ergó

a^x * exp(conj(a)*x) = c

Egyszer már sikerült megoldanom ezt, vagy legalábbis ehhez nagyon hasonló egyenletet, de nem találom sehol. :( Valaki tud a témában segíteni? Az is jó lenne, ha valaki megmondaná, hol lehet a "találmányomat" alkalmazni, vagy esetleg más is foglalkozik-e ezzel?