Differenciál- és integrálszámítás megértése egyedül?

Nem értem ezt az "egyedült". Az interneten kérdezhetsz is, ha nem értesz valamit, és válaszolnak. Akkor már rögtön nem egyedül csinálod.

Másrészt meg attól is függ, hogy megtalálod-e a neked való tananyagot.

Természetesen emg lehet, ha az alapokkal tisztában vagy, de nem fogod megérteni ha mondjuk már az egyenes egyenleténél, meg a meredekség foglamánál elvesztetted a fonalat.

Tanárom azt mondta: deriválni még egy szemár is tud, integrálás, na az már más tészta.(a deriválást tényleg lehet elég mehanikusan csinálni)

Igen, meg lehet érteni, ha rendelkezel a szükséges alapokkal. Internet sem kell hozzá, pusztán néhány jó könyv.

Internet szempontjából max. a wolframalpha (vagy más hasonló) dolog ami jól jöhet ellenőrzéshez.

De alapjáraton, ha megvan a jó könyv, nem kell internet sem, régen sem volt.

Ha elég szívós vagy és van néhány jó könyved, akkor sztem simán.

Én inkább lektorált könyvekből indolnék ki, mint a neten levő cuccokból, ha már netről szeded, akkor ajánlom, hogy valami komolyabb oktatási aynagot, egyetemi jegyzetet* szerezz be.

A Bolyai példatár sorozatot ajánlanám ahhoz, hogy a feladatokat megértsd és láss példákat, de bizony ajánlanék mellé egy elméletibb jegyzetet is (ezért lehet, hogy megköveznek, de a mélyebb megértéshez jól jöhet), valamelyik nagy egyetemen bevett "analízis" jegyzet* tanulmányozását.

Igen, meg lehet érteni és tanulni autodidakta módon is, de ne akarj rögtön túl sokat. Először ismerkedj meg a sorozatokkal, aztán a sorozatok határértékének fogalmával, és csak ezután jöhet a "függvény deriváltja egy adott pontban" című témakör. Miután érted a derivált definícióját és személetes geometriai jelentését is, aztuán érdemes magadnak is kiszámolnod pár tipikus függvény deriváltját - lényegében ezek adják az ún. deriválási szabályokat. És miután ez készségszinten megy, és szöveges példákat is magabiztosan meg tudsz oldani, utána érdemes elkezdeni foglalkozni az integrálással. Először csak mint a differenciálás fordított műveletvel, azaz határozatlan integrálokkal. Majd ha ezt is biztosan tudod már, akkor jöhetnek a határozott integrálok, azaz görbe alatti területek számítása, majd később az ehhez kapcsolódó szöveges feladatok. Végül pedig átnézheted a többszörös integrálokat, azaz felületi és térfogati integrálszámításos feladatokat.

Ezekhez ajánlom Bárczy Banabás könyveit (Bolyai-sorozat) Differenciálszámítás illetve Integrálszámítás címmel.

Nos, ezek lennének az alapok. Differenciálegyenletek megoldása illetve vektormezők differenciálása és integrálása (már ha egyáltalán ilyen dolgok érdekelnek) csak ezután jönnek. :)

A dolog elméleti alapja végül is nem nehéz, és egy gimis matektankönyv elég hozzá. A finomságok, főleg az integrálásban, hát az már külön ügy. A deriválás tényleg nem egy óriási mutatvány, az integrálás viszont tényleg művészetbe hajlik a legmagasabb szinten. Majd megérted, hogy miért. De az alapok azért ott lesznek a tankönyvben.

Mindkét művelet egy függvénnyel csinál valamit, és képileg a függvény diagramjához kapcsolható. A deriválásnál kiválasztasz a görbén két közeli pontot, húzol rajuk át egy egyenest, és ez közel van a görbe érintőjéhez azon a részen. Ahogy egyre közelebb viszed a két pontot, egyre pontosabb lesz az érintő. Amikor a két pont egybeér, akkor az érintő iránya azon a ponton teljesen pontos, de geometriailag nem lehet egy egyenest egyetlen ponttal meghatározni.

Ekkor jön a deriválás: ha a függvény képletén elvégzel bizonyos megszabott műveleteket, akkor megkapod a képlet deriváltját. Ha ebbe behelyettesíted azt az x-értéket, amelyik pontnál az eredeti görbe érintőjét szeretnéd megkapni, akkor a deriváltfüggvény számszerűen megadja az érintő iránytangensét, a meredekségét.

Ennek különféle hasznai lehetnek, fizikában például a következő: ha egy görbével ábrázoljuk egy test változó sebességét az idő függvényében, akkor ha egy ponton meghúzzuk a görbe érintőjét, megkapjuk a test aktuális gyorsulását abban a pillanatban.

Az integrálás célja az, hogy a függvénygörbe által ábrázolt számértékeket végtelen finomsággal összeadhassuk. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy két választott határpont között kiszámítsuk a görbe és a vízszintes tengely által bezárt síkidom területét, vagy ahogy mondjuk, a görbe alatti területet. Ha a függvénygörbe tényleg görbe, akkor mértani eszközökkel ez nem oldható meg. Ilyenkor el kell végezni a szükséges műveleteket a függvény képletén, és megkapjuk a függvény integrálját, bizonyos fenntartással. Ha választasz két x-értéket, és behelyettesíted az integrált függvénybe (ezt primitívfüggvénynek hívják), majd kivonod egymásból a két kapott eredményt, akkor megkaptad a görbeszakasz alatti területet.

Ennek is vannak mindenféle felhasználásai, egy fizikai felhasználás például az, hogy ha egy görbével ábrázoljuk a test sebességét az idő függvényében, akkor a görbe alatti terület egyenlő a két kiválasztott pillanat között megtett úttal.

Mellékesen a deriválás és az integrálás egymás ellentett műveletei, vagyis ha egy függvényt deriválasz, majd integrálod, akkor az eredeti függvényt kapod vissza, egy speciális kiegészítéssel. Egy függvényt egyébként lehet kétszer egymás folytatásaként is deriválni, vagy kétszer integrálni, ennek is megvan a maga gyakorlati haszna.

Hát, indulásnak ennyi jól jöhet. A kis leírásom a végtelenségig bővíthető, pontosítható, szakszerűsíthető, de lényegében igaz, és kezdetben szerintem erre volt szükséged.

"A dolog elméleti alapja végül is nem nehéz, és egy gimis matektankönyv elég hozzá."

Ismerve a mai tankönyveket, én inkább azt mondanám, hogy aki az elméleti alapokat kívánja megérteni, minimum egy Obádovics féle felsőbb matematika könyvet válasszon.

Akit érdekelnek a bizonyítások is, szerezzen be egy felsőbb analízis jegyzetet, a matematikailag teljesen korrekt és szabatos tárgyalásmód csak így tehető meg.

Egy kiegészítést tennék az utolsó válaszhoz, mert valami nagyon bántotta a szememet:

"ha egy görbével ábrázoljuk egy test változó sebességét az idő függvényében, akkor ha egy ponton meghúzzuk a görbe érintőjét, megkapjuk a test aktuális gyorsulását abban a pillanatban."

Ne feledkezzünk soha meg arról, hogy amikor sebességről, vagy gyorsulásról beszélünk, akkor általános esetben vektorokra gondolunk. A fenti megfogalmazás úgy lesz mind fizikailag, mind matematikailag korrekt, ha sebesség helyett pályasebességet, ami ugye a sebességvektor abszolútértéke (euklidesi-normára gondolunk itt) ill. "aktuális gyorsulás" helyett pillanatnyi pályagyorsulást (érintőirányú) mondunk.

Nem szeretnék kötekedni, de ezt mindenképp fontosnak tartottam kiemelni. Sajnos sokan, még fizikából érettségizők is gyakran abban a tudatban maradnak, hogy a sebesség, ill. gyorsulás egy szám, pedig most már jól tudjuk, hogy ez nem így van.

Amúgy ha már a vektoroknál vagyunk, akkor még a deriváláshoz teszek egy apró megjegyzést;

Minden választ elolvasva, láttam hogy eddig valamennyi kedves válaszoló úgy emlegette itt a deriválást és integrálást, mintha ezek a műveletek pusztán egy derékszögű koordinátarendszerben lévő valós-valós függvényekkel kapcsolatos dologra korlátozódna.

Ez viszont messze nem így van, és leszűkíti az ember látókörét, ha ebben a tudatban marad.

Ezt elkerülendő, mindenképp megemlítem, hogy lehet deriválni/integrálni pl. vektorokat is, többváltozós függvényeket (spec 2 dimenzióban egy felületre gondolhatunk, azaz egy felületen is tudunk deriválni, integrálni, csak ugye itt a gyakran emlegetett érintőből már egy érintő sík lesz...), ill. ezeken kívül "más dolgokat" is lehet integrálni, deriválni, sőt adott esetben "egy picit másképp" is lehet integrálni, deriválni, mint ahogy "megszoktuk". Ez utóbbi mondat pongyola, de most nem szándékom elmerülni a részletekbe.

Ezeken kívül azt is könnyen elképzelhetjük, hogy nem a valós vektortérben integrálunk deriválunk, hanem pl. komplex térben, ahol pl. már komplex értékű integrálokkal kell számolnunk (több-kevesebb fáradalommal).