Egyvölgyű potenciál surlódásmentes kitérés-idő fv? Hogyan jelenik meg itt szeparátrix? Mit modellezhet ez a potenciál?

Az egyvölgyű potenciál surlódásmentes kitérés-idő függvényét a klasszikus mechanika egy egyszerű példájaként lehet modellezni. Az ilyen potenciálok esetén az egyensúlyi helyzet egy potenciálminimum, és a részecske a potenciálban elfoglalja a stabil egyensúlyi helyzetet.

A szeparátrix a potenciálban az a kitérési érték, ahol a mozgás dinamikája megváltozik. Ez az érték különleges szerepet játszik, mivel a részecske mozgása két különböző mód között vált át. Az egyvölgyű potenciál esetén a szeparátrix az a kitérési érték, ahol a részecske mozgása a potenciál középpontjától elkezd divergálni.

A V(x) = −6x^2 + 4x^3 dimenziótlan egyvölgyű potenciált megadva, az egyensúlyi helyzetek a potenciálminimumok, amiket a deriváltjaik nullává tételezve kapunk meg. Ebben az esetben az egyensúlyi helyzetek x = 0 és x = 2/3.

A súrlódásmentes mozgás kitérés-idő függvényét az energia-megtartás törvénye alapján lehet meghatározni. Az energiamegmaradás miatt az összes mechanikai energia (kinetikus + potenciális) állandó a mozgás során.

Az energiamegmaradás törvényét felírva, és a kinetikus energia kifejezését a részecske tömegével és sebességével, valamint a potenciális energiát a V(x) potenciállal helyettesítve:

E = (1/2)mv^2 + V(x)

A kezdeti feltételek alapján, a kezdeti pozíció (x0) és kezdeti sebesség (v0) ismertek. Ezeket a feltételeket felhasználva az energiamegmaradás egyenletét megoldva, meghatározhatjuk a kitérés-idő függvényt.

A kezdeti feltételek alapján (x0 = 1 és x'0 = 1,56; 1,95; 2,0), a kitérés-idő függvényt meghatározhatjuk az energiamegmaradás egyenletéből kiindulva.