Exponenciális egyenlet, segítene valaki?

Én így csináltam:

Először leosztjuk mindkét oldalt a jobb oldalon álló 2^(x+gyök(x)) -el (ez megtehető, mert az exponenciális kifejezés sosem 0).

A hatványozás azonosságai alapján ekkor az egyenletből ez lesz:

2^(x-gyök(x)) - 4 / 2^(x-gyök(x)) = 3.

itt helyettesítünk egy a:= 2^(x-gyök(x)) -et

a-4/a=3, amiből adódik egy másodfokú egyenlet

a^2-3a-4=0, ennek gyökei a megoldóképlet alapján:

a1=-1, a2=4. Ha x valós, akkor a 2^(x-gyök(x)) mindig pozitív, tehát a1 elvethető.

Meg kell oldani a

(4=)2^2=2^(x-gyök(x)) egyenletet. Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt ez pontosan akkor teljesül

ha 2=x-gyök(x), ebből

(x-2)=gyök(x) , négyzetreemelve mindkét oldal, a kapott másodfokú egyelnetet megoldva, adódik két gyök

x1=1 és x2=4.

Az eredeti egyenletbe visszahelyettesítve az x1=1-t, azt kapjuk, hogy

4-16=3*4, ami ellentmondás, így ez a gyök a négyzetreemelés miatt fellépő hamis gyök.

x2=4 viszont valóban megoldás.