Lehetséges egy zárt rendszernek két olyan (különböző) állapota, melyek t idő múlva ugyanolyan állapotba kerülnek?

Matematikailag valóban nem lehetséges. Zárt, konzervatív rendszereket leíró diffegyenletek fázisterében nem lehetnek olyan csomópontok ahol összefutnak a trajektóriák.

Ettől függetlenül létezhetnek konzervatív, kaotikus rendszerek, ami durván azt jelenti hogy a kezdeti állapotban fennálló nagyon kicsi különbségek is teljesen más trajektóriákat eredményeznek.

Szerintem előfordulhat.

Ha veszel kettő U alakú csövet, az egyiknek az egyik ágát töltöd meg vízzel, a másiknak a másikat, akkor elég rövid idő múlva ugyanúgy néznek majd ki.

Biztos le lehet vezetni szépen, de közelítsük meg a dolgot praktikusan. Affelől nyilván nincs kétséged, hogy előrefele egyértelműen determinált a rendszer: ha egy r helyzetű, v sebességű, m tömegű pontszerű testre a többi test összesen F eredő erővel hat, akkor nincs mese hogy na most erre menjek vagy arra menjek, gyorsuljak vagy lassuljak, hanem az állapota mindig dr/dt = v és dv/dt = F/m szerint alakul. Azt teszi, amit az aktuális sebessége és a rá ható erők diktálnak. Nincs ilyen, hogy "válaszút elé érkeztem" és kétféle trajektórián is folytathatom az utamat.

Ha valaki odajön hozzád, hogy mondd meg fiam, mi lesz a test állapota infinitezimális dt idő múlva, akkor felírod neki, hogy r(t+dt) = r(t) + v(t)*dt és v(t+dt) = v(t) + F(t)/m*dt és semmi kétség, hogy ez így is lesz.

Ha azt kérdezné, hogy fiam, mi volt a test állapota infinitezimális dt idővel ezelőtt, akkor azt is pont ugyanúgy írnád fel neki, csak a dt előjelét változtatnád meg: r(t-dt) = r(t) - v(t)*dt és v(t-dt) = v(t) - F(t)/m*dt. Ez is pont ugyanolyan egyértelműen determinált, itt sincs kétség hogy dt idővel ezelőtt valóban ez volt.

Ez az ok-okozati tűnődés egy teljesen más téma, filozófiai kérdés, emberi absztrakció. A rendszerednek nincsenek okai meg okozatai: bármelyik pillanatképében benne van a teljes múltja és jövője. Ez már előtted is fájt másoknak, az egész determinizmus, fatalizmus témakör ekörül forog, de ebbe inkább ne is menjünk bele.

A newtoni fizikában a tömegpontok "jól viselkedő" függvények mentén mozognak, ilyen elvadult dolgok, hogy a határérték nem egyezik meg a pontban felvett értékkel, nem fordulnak elő.

"Vagy ez az egész csak azon a tapasztalaton alapszik, hogy az eddigi vizsgálatokban mindig megegyezett a két érték?"

Jó ez a megjegyzés :D Sokan, pláne a NAGYON elméletis emberek hajlamosak alulértékelni a tapasztalatot. Az egész fizika arról szól, hogy matematikai modelleket készítünk, amelyek úgy viselkednek mint a tapasztalat (=mérés).

Minden modellnek a tapasztalat a legfőbb tartóoszlopa: abból ered és az validálja. Az egy igen fontos dolog hogy az eddigi tapasztalatok ezt alátámasztják.

Nem pedig "csak" tapasztalat. A világ nyugodtan lehetne olyan is hogy két különböző állapotból megegyezőbe fejlődik. Csak nem olyan.