Szögmérés esetén miért a radiánban vett értéket tekintjük a valós értéknek? Illetve miért pont azt?
Azt értem, hogy a radiánérték két hossz (a körív és a sugár) arányából születik, és mivel nincs mértékegysége, ezért tekinthető valós számnak (bár itt nem teljesen értem az ok-okozati összefüggést, de elfogadom).
Az is világos, hogy erre (többek között) azért van szükség, mert ha a trigonometrikus függvényeket Taylor-sorba fejtük, akkor a függvényértékhez valós számot kell beírni a polinomalakba. De honnan lehet tudni, hogy a radián definíciója ennek a valós számnak megfelel? Mert akár úgy is lehetett volna definiálni a radiánt, hogy egy radián alatt a szöghöz tartozó körív felének és a sugárnak hányadosát tekintjük, és ez is mértékegység nélküli mennyiség, tehát a fenti okfejtés szerint ezt is tekinthetnénk valós értéknek, ami beírható x helyére. Viszont ekkor a 180°-hoz 2pi tartozna, így például cos(2pi) értéke -1 lenne, viszont ha a koszinusz Taylor-polinomjába beírjuk a 2pi-t, akkor nem (-1)-hez közeli értékeket kapnánk, hanem éppen ellenkezőleg, 1-hez közelieket.
Arra is rájöttem, hogy ha a trigonometrikus függvényt szeretnénk a valós számok halmazán értelmezni, akkor megtehetjük azt, hogy például sin(90°)=1, ekkor a sin(x) függvényt többször Taylor-sorba fejtjük, majd az így kapott polinomokat egyenlővé tesszük 1-gyel, majd megnézzük, hogy ezek megoldásai milyen szám felé konvergálnak, amire (mint tudjuk) pi/2 körüli értéket fogunk kapni, és ebből vissza lehet számolni, hogy mennyi is az az 1 radián. Viszont itt is az ok-okozattal van problémám, mert a radiánt nem a Taylor-sorhoz igazították.
válasza:> Én nem modellezésről beszéltem, hanem a valóságról.
Pedig a természettudományok csak modellezik a valóságot.
> Nyilván euklideszi geometriával is lehet modellezni a világegyetemet, csak néhány esetben nagyon nem fog működni.
De működni fog, ha helyesen írjuk fel a képleteket, csak nagyon bonyolult összefüggésrendszert és kilométeres képleteket fog generálni, számos olyan nem független paramétertől, ami más matematikával független paraméterré egyszerűsödik. Pl. egy háromszög szögei nem egyszerűen összeadódnak, vagy nem lesz az összegük független a háromszög méretétől.
válasza:"Elismerem, amint megmutatod, hogyan érvényesek például egy gömbfelület esetén."
Már bocsánat, de egy gömbfelületi polárkoordináta-rendszer hogy jön ide?
Főleg, hogy pontosan megvan az átszámítási módja Descartes-féle koordinátarendszerre, mindkettő euklidészi geometriában.
"Én nem modellezésről beszéltem, hanem a valóságról."
Arról nehezen, mert akár matek, akár fizika, csak modelljeink vannak, ilyen-olyan, ide-oda jobb-rosszabb. A valósággal az egyetlen kapcsolataink pont ezek az alkalmazott tudományos modellek.
És a szögfüggvények témája igencsak nevezhető alkalmazott matematikának. Éppen ahogy elején is írtam, pont a való világi alkalmazás a legerősebb megokolása annak, miért praktikus a radián olyannak, amilyen.
Ki lehet találni ezer másfélét, definiálni máshogy, de ez a definiálás, alkalmazás jelen esetben praktikus.
De ha egyszer definiáltuk olyannak, akkor azzal a definiálásnak megfelelően kell számolni.
De ezt már 2*Sü levezette.
válasza:#21
"Pedig a természettudományok csak modellezik a valóságot."
Nyilván, de modell sokféle van,valóság meg csak egyféle. De akkor talán pontosabb, ha úgy fogalmazok, hogy a lehető legjobban nem eukleidészi geometriával modellezhető a valóság (nagy léptékben), így logikus, hogy valószínűleg tényleg nem eukleidészi geometriájú.
"De működni fog, ha helyesen írjuk fel a képleteket,"
Nyilván mindenre fel lehet írni képletet. Ptolemaiosz is leírta képletekkel a bolygók mozgását geocentrikus világképpel. Csak ennek nem sok értelme van.
#22
"mindkettő euklidészi geometriában."
Aham.
"Spherical geometry is the geometry of the two-dimensional surface of a sphere. It is an example of a geometry that is not Euclidean."
A modellek a valóság leegyszerűsített alkalmazásai. Amelyik pontosabban leírja a valóságot, az a jobb modell. A valóságot nagy léptékben legjobban leíró modellek nem eukleidészi geometriájúak. Ebből valószínűsíthető, hogy az univerzum sem az a valóságban. De azt elismerem, hogy elég szerencsétlenül fogalmaztam.
"És a szögfüggvények témája igencsak nevezhető alkalmazott matematikának."
Nem is állítottam, hogy nem azok. Azt állítottam, hogy az az állításod, miszerint a matematika csak addig helyes, amíg a való világ modellje is, nem igaz. Nyilván alkalmazni a valóságra azt tudjuk, ami valami hasonlóságot mutat vele. De ettől függetlenül a valóságot többé-kevésbé jól leíró és a valósággal köszönő viszonyban levő matematikai modellek egyenértékűek, attól nem lesz valami érvényesebb matematika, ha jobban leírja valóságot.
válasza:""mindkettő euklidészi geometriában."
Aham"
Légyszíves értelmezd, amit írtam, ott a polárkoordinátás, és Descartes-féle koordinátás átírás lehetősége, mindkettő euklidésziben.
"Azt állítottam, hogy az az állításod, miszerint a matematika csak addig helyes, amíg a való világ modellje is, nem igaz."
Ha valahonnan ezt olvastad ki, nem ez volt a célom.
A való világot modellező (nem véletlenül használtam agyba-főbe az "alkalmazott matematika" kifejezést), annak empirikus alapjaira épülő matematikáról beszélek.
Nyilván létre lehet hozni egy tök más axióma-bázisú, totál eltérő szabályrendszerű matematikát, aminek semmi köze a való világhoz.
De konkrétan a jelen vizsgált matematikai terület, a radiánnal dolgozó szögfüggvényes algebra nem ilyen.
Az kőkeményen valóságmodell alapú és arra alkalmazható.
És a radián, mint szögmérték pontosan ezt az alkalmazhatóságot könnyíti.
válasza:#24
"Légyszíves értelmezd, amit írtam, ott a polárkoordinátás, és Descartes-féle koordinátás átírás lehetősége, mindkettő euklidésziben."
Valóban félreértettem, amit írtál. De nem tudom, mennyiben befolyásolja ez azt, hogy a szférikus geometriában nem érvényesek (vagy nem úgy) a szögfüggvény szabályok. Mellesleg polárkoordináta rendszerről te beszéltél, én gömbfelületi geometriáról beszéltem (amire nyilván alkalmazható a polárkoodináta rendszer). Attól még, hogy áttranszformálod descartesi koordináta rendszerbe a gömbfelületen továbbra sem lesznek érvényesek az euklédeszi geometriában meghatározott szögfüggvény szabályok.
Nyilván a való világra alkalmazott matematika esetén egyértelmű, hogy köze kell legyen a valósághoz, csak ez az állítás meg nem túl sokat mond.
válasza:"Attól még, hogy áttranszformálod descartesi koordináta rendszerbe a gömbfelületen továbbra sem lesznek érvényesek az euklédeszi geometriában meghatározott szögfüggvény szabályok."
Mert azokat is, szépen levezethetően, át kell transzformálni.
Természetesen az eltérő geometriában az alapvető függvények definíciói is eltérnek.
"Nyilván a való világra alkalmazott matematika esetén egyértelmű, hogy köze kell legyen a valósághoz, csak ez az állítás meg nem túl sokat mond."
Jelen esetben de, mivel a kérdés, hogy miért pont 2*pí a 360 fok, pontosan a gyakorlati-geometriai alkalmazás adja meg a praktikumát.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2025, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!