Szögmérés esetén miért a radiánban vett értéket tekintjük a valós értéknek? Illetve miért pont azt?
Azt értem, hogy a radiánérték két hossz (a körív és a sugár) arányából születik, és mivel nincs mértékegysége, ezért tekinthető valós számnak (bár itt nem teljesen értem az ok-okozati összefüggést, de elfogadom).
Az is világos, hogy erre (többek között) azért van szükség, mert ha a trigonometrikus függvényeket Taylor-sorba fejtük, akkor a függvényértékhez valós számot kell beírni a polinomalakba. De honnan lehet tudni, hogy a radián definíciója ennek a valós számnak megfelel? Mert akár úgy is lehetett volna definiálni a radiánt, hogy egy radián alatt a szöghöz tartozó körív felének és a sugárnak hányadosát tekintjük, és ez is mértékegység nélküli mennyiség, tehát a fenti okfejtés szerint ezt is tekinthetnénk valós értéknek, ami beírható x helyére. Viszont ekkor a 180°-hoz 2pi tartozna, így például cos(2pi) értéke -1 lenne, viszont ha a koszinusz Taylor-polinomjába beírjuk a 2pi-t, akkor nem (-1)-hez közeli értékeket kapnánk, hanem éppen ellenkezőleg, 1-hez közelieket.
Arra is rájöttem, hogy ha a trigonometrikus függvényt szeretnénk a valós számok halmazán értelmezni, akkor megtehetjük azt, hogy például sin(90°)=1, ekkor a sin(x) függvényt többször Taylor-sorba fejtjük, majd az így kapott polinomokat egyenlővé tesszük 1-gyel, majd megnézzük, hogy ezek megoldásai milyen szám felé konvergálnak, amire (mint tudjuk) pi/2 körüli értéket fogunk kapni, és ebből vissza lehet számolni, hogy mennyi is az az 1 radián. Viszont itt is az ok-okozattal van problémám, mert a radiánt nem a Taylor-sorhoz igazították.
válasza: válasza:A radiánnak az a marha nagy előnye, hogy tartalmazza a "pí" értékét.
Innentől egyszerűbben alkalmazható mindenhol, ahol a rádiusz és kerület-terület, ívhossz összefüggése fontos.
"az ok-okozattal van problémám, mert a radiánt nem a Taylor-sorhoz igazították."
Nem ahhoz, mert valószínűleg a gyakorlati használatban volt először fontos, az egyéb matematikai alkalmazásokba meg láthatóan integrálható volt úgy, ahogy van.
válasza:" Mert akár úgy is lehetett volna definiálni a radiánt, hogy egy radián alatt a szöghöz tartozó körív felének és a sugárnak hányadosát tekintjük,"
Mármint a körív és a sugár hányadosának. Mert tudtommal így szokták definiálni.
válasza:"az általam adott definícióban is benne van a pi, csak nem a 180°-hoz tartozik, hanem a 90°-hoz, ellenben ha ezt választom valós számnak, akkor nem jön ki semmi"
Nem hát. Nézegesd meg az egységkört, vesd össze a radián-felosztással és rájössz, miért a 180 fok passzol a "pí"-hez.
5-ös; igen, ezért írtam, hogy AKÁR úgy is lehetne definiálni, ahogy leírtam. Nem úgy van definiálva, hanem teljesen máshogy. De a definícióval az a bajom, hogy azt mondják, hogy a radiánérték valós érték, mert nincs mértékegysége, azonban ahogyan én definiáltam, úgysincs mértékegysége, mégsem tekintjük/tekinthető valós értéknek.
Wadmalac: azért az passzol hozzá, mert úgy lett definiálva a radián, hogy az passzol hozzá. Nem az volt a kérdés, hogy miért a 180°-hoz tartozik a pi érték, hanem az, hogy ha másik definíciót választok -amivel értelemszerűen más szöghöz fog tartozni a "radiánértékek" többsége-, akkor az egyrészt miért nem tekinthető valós megoldásnak (mivel a kitétel csak az, hogy mértékegység nélküli legyen), másrészt azokkal miért nem működnek a Taylor-sorfejtéssel kapott polinomok.
Tényleg ennyire nem lehet érteni, hogy mi a problémám? ...
válasza:Tényleg nem.
"a kitétel csak az, hogy mértékegység nélküli legyen"
Nem. Nem CSAK.
Mivel a matematika addig helyes, míg a való világ modellje is egyben.
Ha te elkezded a radiánt az eredeti, praktikus okokból definiált értelméhez képest átszabni, természetesen borítja az egészet, a szögfüggvény-értékek hibásak lesznek, minden képleted elromlik.
válasza:#7
Lehetne úgy is definiálni, de mi értelme volna. A radián sugár és a körív hossza közötti összefüggést adja meg. A te verziód ezt csak bonyolítja. Egyébként akkor úgy is működik, csak radián helyett a te verziódban mindig 2*'radián' értéket kell megadni. Azt tényleg nem nagyon értem, hogy miért lepődsz meg azon, hogy ha máshogy definiálod az egységet, viszont ezt nem veszed figyelembe a számolásnál, akkor más eredményt ad.
válasza:Az, hogy mi a szög mértékegysége az definíció kérdése. Lehet a fok is, ahogy egy teljesszög 360°, a derékszög meg 90°. Lehetne a fordulat is, ahol a teljesszög 1 fordulat, a derékszög meg 1/4 fordulat. A fizika pl. előszeretettel használja ezt a mértékegységet. Lehetne a gradián is, ahol a teljes szög 400 g, a derékszög meg 100 g. Meg persze lehet a radián is, ami a szöghöz tartozó körív hosszának és a kör sugarának a hányadosa, ahol a teljesszög 2π, a derékszög meg π/2. De vannak még más mértékegységek, amik főleg katonai alkalmazásban voltak használatosak.
Tulajdonképpen önkényes döntés, hogy melyiket választjuk mértékegységnek. Igazából az is mindegy, hogy most ezt mértékegységnek, vagy egy mértékegység nélküli dimenziótlan egységnek tekintjük-e. A matematika sok tulajdonságot, ami a fizikában mértékegységgel rendelkezik, megfoszt a mértékegységétől. A távolságnak pl. a fizikában mértékegysége van. Ott is önkényes, hogy ez most méter, láb, vagy könyök. Viszont a matematikában egy szakasz hosszát mértékegység nélküli számként kezeljük, mert a matematika elvont absztrakt hosszúság fogalma, és az abból származó következtetések függetlenek a mértékegységtől.
> Az is világos, hogy erre (többek között) azért van szükség, mert ha a trigonometrikus függvényeket Taylor-sorba fejtük, akkor a függvényértékhez valós számot kell beírni a polinomalakba.
Fok, fordulat, meg gradián esetén is. Maximum mások lesznek a Taylor-sor tagjainak együtthatói.
> Mert akár úgy is lehetett volna definiálni a radiánt, hogy egy radián alatt a szöghöz tartozó körív felének és a sugárnak hányadosát tekintjük
Nem teljesen így, de létezik valami hasonló is. Ugye a π az a kör kerületének és átmérőjének a hányadosa. Az egységsugarú kör kerülete 2*r*π. Ez a 2π, így a kettessel, mint együtthatóval számos képletben megjelenik. Anno is, meg ma is van ajánlás arra, hogy használjuk inkább a τ-t (tau), ami meg a kör kerületének és a *sugarának* a hányadosa. τ = 2π = 6,283185… Számos helyen praktikusabb lenne, egy csomó helyen elhagyható lenne a 2-es szorzó. Más helyeken meg kevésbé lenne praktikus, ahol meg a π a kettes szorzó nélkül szerepel, ott meg állandóan τ/2-t kellene írni. De összességében a π-t találták praktikusabbnak, így ezt a matematikai konstansot használjuk. De ez döntés, illetve szokás kérdése.
> Viszont itt is az ok-okozattal van problémám, mert a radiánt nem a Taylor-sorhoz igazították.
Igen is, meg nem is. A radiánt számos különböző matematikai összefüggéshez igazították, számos matematikai összefüggésben ez a szögnek a természetes mértékegysége, ami nem kíván egyéb együtthatót, szorzót, konstanst a képletekbe. Többek között a Taylor-sorok matematikája volt az egyik ok, ami miatt a radiánt találták a szög a természetes mértékegységének.
> ekkor a sin(x) függvényt többször Taylor-sorba fejtjük
Ugye fordítva ülünk a lovon. Ha a szög esetében radiánt *választjuk* mértékegységnek, *akkor* fog úgy kinézni a Taylor-sor, hogy:
sin(x) ≈ x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! …
Azaz:
sin(x) = ∑ (-1)ⁿ / (2n+1)! * x^(2n+1)
Ha a szöget választjuk mértékegységnek, akkor meg a Taylor-sor úgy néz ki, hogy:
sin(x) ≈ xπ/180 - (xπ/180)³/3! + (xπ/180)⁵/5! - (xπ/180)⁷/7! …
Azaz:
sin(x) = ∑ (-1)ⁿ / (2n+1)! * (x*π/180)^(2n+1)
Ha ezt az egyenletet nézzük, akkor meg az jön ki, hogy ha megoldjuk f(x)=1 esetére, akkor x 90-hez fog konvergálni.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!