Szögmérés esetén miért a radiánban vett értéket tekintjük a valós értéknek? Illetve miért pont azt?

2xSü válasza szerintem lefedi ezen kérdéseidet is.

"Például ott van a gradián, ami azt mondja, hogy 0°=0^g és 90°=100^g. Mégis ugyanaz a probléma vele, hogy nem használható valós-valós függvényhez."

De, azzal a kitétellel, hogy tudod, hogy 1 grad = π/200. :)

Kivédhetetlenül ott van, hogy a félkör, a 180 fok, a π az ideális egység szögfüggvényekhez.

#12

Nincs olyan, hogy jó meg nem jó definíció. Bármelyik definíció egyformán jó. Legfeljebb van ami praktikusabb. A hagyományos radián definíció szerintem praktikusabb, mint amit te adtál meg.

#8 (Wadmalac)

"Mivel a matematika addig helyes, míg a való világ modellje is egyben."

Ez nem igaz, a matematikának semmi köze nem kell, hogy legyen a valósághoz (persze sokszor praktikus, ha van). Ahogy a klasszikus vicc mondja:

A mérnök azt hiszi, az egyenleti megközelítik a valóságot.

A fizikus azt hiszi, a valóság megközelíti az egyenleteit.

A matematikust ez nem érdekli.

Mindenekelőtt szögezzük le: a tudomány fejlődik. Ez azt jelent, egy konkrét dologról kezdetben kevesebbet, később többet tudunk. Viszont a dolgokat akkor nevezzük el, definiáljuk, mikor még keveset tudunk. Így előfordul, hogy további ismeretek további szempontokat adnak, amely szerint az eredeti definíció kényelmetlenné válhat.

Azonban a történelem történelem. A múltat nem szoktuk változtatni, átértelmezni. Viszont tiszteletünk jele, hogy elfogadjuk olyannak, amilyen.

Ezért a radiánnak a Taylor sorhoz vajmi kevés köze van megnevezés, definíció szempontjából.

Nem volt mindig CGS rendszer, sőt metrikus rendszer sem. Történelmi tény, hogy a teljes körívet 360°-nak tekintik (nem mennék bele a részletekbe). Később definiálták a radiánt, történetesen azt a szöget, amely esetén a sugár egyenlő a szöghöz tartozó ívhosszal.

Ebből már jó sok minden következett. Ezek az összefüggések tehát matematikatörténeti definíciók, amelyekről azóta so tulajdonságot le lehetett írni, helyenként a használata kényelmetlenebb, helyenként más definíciókat is használnak.

"Ez nem igaz, a matematikának semmi köze nem kell, hogy legyen a valósághoz"

Hm, a tisztán elméletire esetleg igaz, de az alkalmazottra nem, illetve hiába lehet mondjuk az aritmetika független (bár alap-axiómái empirikusak), a geometria már nem feltétlenül.

A konkrét esetnek a világ modelljéhez kötöttségét már a szögfüggvények geometriai kapcsolata megköti.

"Geometriából elég sok van, nem csak az euklideszi."

Ismerd el, hogy ez nem volt érv jelen esetben, a szögfüggvények és a radián esetén. :D

"(És a való világ sem euklideszi geometriájú.)"

Milyen szinten, csillagászati, rel. elméleti, kvantumfizikai vagy newtoni fizikai modellezés szinten? :D

> Mivel a matematika addig helyes, míg a való világ modellje is egyben.

Egy ideig valóban ez volt a szándék, és a remény. Pont a nemeuklideszi geometriák megjelenése volt a matematika egyik töréspontja, ami rámutatott, hogy több alternatív matematikai axiómarendszer is létezhet, amik magukban konzisztensek, ellentmondásmentesek, és a matematika keretén belül egyenrangúak, nem dönthető el, hogy melyik a „helyesebb”, mert mindegyik helyes. De itt még rá lehetett bízni a fizikára azt a kérdést, hogy a valóság leírásához melyik matematikai axiómarendszer az, ami alkalmas. Viszont ettől még az alternatív rendszerek továbbra is helyesek, csak nem a mi világunkat írják le.

> 2*Sü: nagyjából értem, amit írsz, de ez nem csak "bűvészkedés a számokkal" annak tudatában, hogy minek kell(ene) kijönnie?

A matematika végül bűvészkedés számokkal, csak egy nagyon szigorú szabályok mentén való bűvészkedés. De itt azt kell érteni, hogy a szög az egy geometriai fogalom. Alapvetően nincs számértéke. De a szög tulajdonképpen mégis csak egy arány a teljes szöghöz képest. Vagy a derékszöghöz képest. Vagy valami máshoz képest, a radián esetén a szöghöz tartozó körív ívhosszának és a sugárnak az aránya. Ezek ekvivalensek, egymással összhangban vannak. Hogy aztán a különböző nagyságú szögek és a valós számok között milyen megfeleltetést írunk fel, az meg önkényes. De bármit is választunk, egymással ekvivalens matematikát kapunk. A geometria matematikája akkor is konzisztens, ha fokokkal, ha fordulatokkal, ha radiánnal, meg ha gradinánnal oldjuk meg a szögek és számok közötti megfeleltetést. Ezek egymásba konvertálható képleteket adnak, a belőlük levont következtetések ugyanazok, tehát egymással tökéletesen ekvivalensek.

(Egyébként az, hogy a szöget nem szögként, hanem valamilyen arányként, mondjuk a teljes szöghöz képesti arányként fejezünk ki, így megfosztva a mértékegységétől, ugyanaz igaz a távolságra is. Annak sincs mértékegysége, ott is egy önkényesen megválasztott egységhez képesti aránnyal fejezi ki a matematika a távolságot, nem konkrét távolságként.)

Ez olyan, mint a koordináta geometria. A geometriában pontok vannak, szakaszok, körök, ívek és hasonlók. Az, hogy mi egy derékszögű koordináta rendszert választottunk, aminek a tengelyei lineárisak az egy önkényes döntés. Használhatnánk mondjuk ferdeszögű koordináta rendszert logaritmikus skálájú tengelyekkel, csak az igencsak megbonyolítaná mondjuk két vektor összegének képletét, és ráadásul elveszítené a képlet az eltolásfüggetlenségét is. De le lehet írni így is két vektor összegét, az eredményt visszavetítve a geometriára ugyanazt kapjuk, tehát a két dolog ekvivalens. Csak az egyik bonyolult, a másik meg egyszerűbb képletekhez vezet. Aztán választhattunk volna polárkoordináta rendszert is. Sőt választunk is, mert bizonyos összefüggések meg ebben kezelhetőek jól, de ez is átkonvertálható a derékszögű koordinátarendszerre.

Nem a tárgyalt jelenségek azok, amik önkényesek, hanem az a jel és mértékrendszer, aminek a segítségével tárgyaljuk ezeket.

Megint egy másik hasonló dolog: A természetes számoknak kétféle definíciója van. Az egyik tartalmazza a nullát, a másik nem. Mivel definitív döntésről van szó, mindkettő elfogadható. És a matematika bizonyos ága az egyiket használják előszeretettel, mert egyszerűbb egy ℕ-t leírni, mint egy ℕ∪{0}-t, a másik meg a másikat használja előszeretettel, mert ott meg egyszerűbb leírni az ℕ-t, mint az ℕ\{0}-t. Aztán persze hogy azért mindig tiszta legyen a kép, bevezettek új jelöléseket: ℕ⁺ vagy ℕ₁-et és az ℕ* vagy ℕ₀-t. De ezek nem a matematika által tárgyalt dolgok természete, hanem a mi nyelvi fogalmaink tisztázása csupán.

Így aztán annak, hogy a matematika radiánt használ előszeretettel, ha egy szögnek egy számot akar megfeleltetni, annak pusztán csak praktikus oka van.

#18

"Ismerd el, hogy ez nem volt érv jelen esetben, a szögfüggvények és a radián esetén. :D"

Elismerem, amint megmutatod, hogyan érvényesek például egy gömbfelület esetén. Mert ott például van olyan háromszög, amiben két (sőt akár három) derékszög van. És lehet olyan kört kijelölni, aminek a kerülete az átmérőjének kétszeresével egyenlő.

"Milyen szinten, csillagászati, rel. elméleti, kvantumfizikai vagy newtoni fizikai modellezés szinten? :D"

Én nem modellezésről beszéltem, hanem a valóságról. Nyilván euklideszi geometriával is lehet modellezni a világegyetemet, csak néhány esetben nagyon nem fog működni.