Mi az iterálás iteráltja?

Ha azt határozod meg (fokozatosan), hogy milyen módszerrel fogsz közelíteni.

A többi: gugli.

Szerintem rajtad kívül senki sem tudja, hogy miről van szó...

Ennyi erővel azt is megkérdezhetted volna, hogy mi a deriválás deriváltja, vagy az integrálás integráltja... Vagy a hólapátolás hólapátoltja...

Ha nem érthető a kérdésed, akkor esetleg magyarázd el.

AZ iterálás amúgy fokozatos közelítő megoldást jelent.

Ennek az iteráltja pedig annak a módszernek a közelítése, amit aztán a közelítésre használsz.

> számtalanszor tisztáztuk, hogy az iterálás lényegében szuperfüggvény-képzés

Nem csak és nem feltétlenül. Az iterálás a rekurzió egy speciális esete, mikor adott egy függvény, és ebben a következő elemet az előző elemnek a függvénybe való behelyettesítésével kapjuk. Röviden és tömören az iterálás az, amikor egy sorozatot úgy kapunk meg, hogy:

a[n+1] = f( a[n] )

Igen, lehet ilyen függvény pl. a szukcesszió (rákövetkezés) függvénye. Ebben az esetben az iterációt elvégezve azt kapjuk, hogy:

a[n+m] = a[n] + m

Magyarán az, hogy „n”-hez hozzáadunk „m”-et, az értelmezhető úgy, hogy „m” alakalommal végezzük el a szukcesszió műveletét az „n”-ből, mint függvényparaméterből kiindulva.

s: x → x+1

n+5 = s(n+4) = s(s(n+3)) = s(s(s(n+2))) = s(s(s(s(n+1)))) = s(s(s(s(s(n)))))

~ ~ ~

Már ha a természetes számoknál maradunk…

Mert az összeadást a nem egész számok halmazán már nem lehet visszavezetni szukcesszióra, az összeadás szabályszerűségét racionális, valós, vagy komplex számokra maximum az összeadásnak a természetes számok halmazán vett összefüggéseiből lehet levezetni. Azt, hogy n+3,8 azt aligha lehet visszavezetni arra, hogy ezt úgy kapjuk meg, hogy „n”-ből kiindulva 3,8-szor ismételjük meg a rákövetkezés műveletét. Az ismétlések száma mindig természetes szám (esetleg bizonyos kiterjesztésekkel még értelmezhető negatív számokra is).

Az tehát maximum a természetes számok halmazán tartható igaznak, de nem általánosságban igaz, hogy a szorzás művelete az összeadás iteráltja lenne.

~ ~ ~

Másik oldalról az iteráció függvénye bármi lehet. Pl. a Newton-módszer is egy iteráció.

~ ~ ~

Azt a fogalmat, hogy iterált, azt még lehet értelmezni. A fentiek tükrében lehet azt mondani, hogy természetes számok halmazán az összeadás a szukcesszió műveletének az iteráltja, a szorzás meg az összeadás műveletének iteráltja, a hatványozás meg a szorzás műveletének iteráltja stb…

De hogy mi az iterálás iterált? Az, hogy „iterálás” az annyit jelent: ismétlés, többször megismétlés, az „iterált” meg annyit jelent: ismételt, megismételt. Mi az iterálás iteráltja? Azaz mi az ismétlés ismételtje? Nyilván ismétlés… Persze kitalálhatsz rá valamilyen saját szót is, ha ezzel nem éred be, csak teljesen felesleges.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

> Mi az iterálás uniteráltja?

> Mi az uniterálás iteráltja?

> Mi az uniterálás uniteráltja?

ERROR!!! Nem létező szó a kérdésben! Nincs olyan fogalom, hogy uniterált, se olyan, hogy uniterálás.

> Legkésőbb a kulcsszavakból ki kellett volna derülni

A kérdésnek önmagában kell értelmesnek lennie. Kulcsszavakhoz azt írsz, amit akarsz és gyakran a kulcsszavak nincsenek köszönő viszonyban a kérdés tárgyával. De a kérdés a kulcsszavak tükrében is problémás.

> én itt iterálás alatt NEM az iteratív módszereket értem

Elnézést, de az iterálás fogalmának van egy a matematikában általánosan elfogadott jelentése. Hogy te nem azt érted alatta, ami az általánosan elfogadott jelentése, akkor nem jó terminológiát használsz.

> Az iterálás maga egy művelet

Attól függ mit értünk műveleten. Olyan értelemben művelet, hogy eljárási mód, metódus. A szó „operátor” értelmében nem az.

Az iteráció definíciója:

Legyen egy „f” függvény:

f : X → X

Legyen egy kezdőérték:

i ∈ X

Iteráció az, amikor:

g(0) = i

g: ℕ → X : g(n+1) → f(g(n))

„g” függvényt lehet – és szokták – nevezni az „f” függvény iteráltjának. Iterálás alatt EZT az eljárást értjük, mármint azt, hogy „g” sorozat egy elemét a sorozat előző eleméből kapjuk meg egy függvény alkalmazásával.

~ ~ ~

Nézzünk egy érdekes példát:

Pl. legyen:

i := 0

f : x → 1-x

Ha úgy jobban tetszik:

f(x) := 1-x

Ekkor:

g(0) = i = 0

g(n+1) = f(g(n))

Így:

g(1) = f(g(0)) = f(0) = 1-0 = 1

g(2) = f(g(1)) = f(1) = 1-1 = 0

g(3) = f(g(2)) = f(0) = 1-0 = 1

g(4) = f(g(3)) = f(1) = 1-1 = 0

g(5) = f(g(4)) = f(0) = 1-0 = 1

g(6) = f(g(5)) = f(1) = 1-1 = 0

…

Ebben az esetben !!!IS!!!! g függvény – vagy sorozat – az f függvény iterálásával – ismétlésével jön létre – és így g függvény f függvény iteráltja. Nota bene ez a g függvény a paraméternek a 2-vel osztás utáni maradékát adja vissza. Vagy ha úgy tetszik g(n) értéke 0, ha „n” páros; 1, ha „n” páratlan. Nyilván ez a g függvény csak természetes számokra értelmezhető. Permanenciaelvvel ki lehet terjeszteni negatív egész számokra is, de racionális, pláne irracionális számokra nem egyértelműen.

Hiszen mit jelent az, hogy g(5) = 1? Azt, hogy 1 marad, ha kettővel osztjuk az 5-öt? Ha a maradék szót használjuk, akkor nyilván ez az értelmezés adódik. Ebben az esetben lehet úgy kiterjeszteni g függvényt valós számokra, hogy g(4,3) = 0,3

De jelentheti az, hogy g(5) =1 azt is – és ez sem kevésbé helyes értelmezés –, hogy 5-höz minimum 1-et kell hozzáadni ahhoz, hogy kettővel osztható számot kapjunk. Ebben az értelmezésben viszont g(4,3) = 1,7. Hiszen 4,3 esetén a legkisebb nála nagyobb kettővel osztható szám a 6, és 4,3-hoz 1,7-et kell hozzáadni, hogy 6-ot kapjunk.

Persze ez csak két különböző kiterjeszti módja a g függvénynek nem egész számokra – és egyik kiterjesztési mód mellett sincs több érv, mint a másik mellett –, de el tudok képzelni további kiterjesztési módokat.

Amúgy itt van az első probléma az „uniterálás” „definícióddal”. Ugyanis „g” függvény nem invertálható.

~ ~ ~

De mi van, ha nem „f”, hanem „h” függvényt iteráljuk. Legyen:

i := 0

h(x) := | x² - 1 |

k(n+1) := h(k(n))

Ekkor:

k(0) = i = 0

k(1) = h(k(0)) = h(0) = | 0²-1 | = | -1 | = 1

k(2) = h(k(1)) = h(1) = | 1²-1 | = | 0 | = 0

…

Ebben az esetben „k” és „g” függvény azonos a természetes számok értelmezési tartományában, hiszen:

∀n∈ℕ g(n)=k(n)

Viszont „f” és „h” függvény nem azonos a saját értelmezési tartományában, hiszen:

∃x∈ℝ f(x)≠h(x)

Sőt:

∃n∈ℕ f(n)≠h(n)

Pl.:

f(3) ≠ h(3)

1-3 ≠ | 3² - 1 |

-2 ≠ 8

És akkor itt egy másik probléma az „uniterálás” „definícióddal”. Ugyanis „g” függvény ugyanúgy elállhat az „f” függvény iterálásával is, meg a „h” függvény iterálásával is, és a két függvény nem azonos. És valószínű „g” függvény még előáll kb. végtelen számú függvény iterálásával. Pl.:

f(x) := 1 - x

f(x) := 1 - x²

f(x) := 1 - x³

…

f(x) := 1 - x^n

~ ~ ~

> Akkor definiálom, hozzáteszem, nem először én, és nem először ebben a kérdésben.

Nos hogy máshol, meg más kérdéseknél mit csináltál és mit nem, arról mi nem tudunk. De tény, hogy a matematikában nincs általánosan ismert és elfogadott jelentése sem az „uniterálás”, sem az „uniterált” szónak.

Google: "uniterálás" → 3 találat (mind a GYK-n, egyik sem valamiféle matematika tankönyvben, publikációban)

Google: "uniterált" → 17 találat (a zöme GYK-s kérdés, valószínű a tied, meg van némi fórum bejegyzés, meg Facebook oldal, nota bene ezek sem matematika tankönyvek, vagy publikációk)

Google: "uniteration" → 298 találat (egy jelentős része a találatoknak nem matematikai természetű, pl. Instagram usernév, stb…)

De oké, definiáltál magad egy fogalmat. Viszont a fentiek tükrében számomra még mindig problémás, homályos, hogy mit is takar akkor az „uniterálás” illetve az „uniterált” fogalma. Nyilván bizonyos szűkebb értelmezésben az egyel alacsonyabb rendű hiperoperátort látszik értened alatta, csak ez eléggé zavaros attól még, egyrészt mivel kevered az „iteráció” és az „iterált” fogalmait, másrészt mert valamilyen oknál fogva az „ellentétét” keresed annak a műveletnek, amit iterációnak hívunk. Tehát gyakorlatilag az ismétlés ellentétét keresed, ami nyelvtani szempontból a „nem ismétlés” lenne, de te valami „visszaismétlés” jellegű fogalmat keresel, ami meg… Nem nagyon van, vagy nem nagyon értelmezhető.