Azt be lehet bizonyítani, hogy nem lehet bizonyítani?

> Ti hogyan fognátok hozzá ehhez a bizonyításhoz?

Pont ez az, hogy nem kell hozzáfognunk. Pusztán elvi alapon ez belátható. Ahogy írtam bizonyítani valamit csak meglévő igazságokból való következtetéssel lehet, így kellenek olyan igazságok, amik alapul szolgálnak, aminek az igazságát nem bizonyítással, hanem bemondásra fogadjuk el.

Kvázi lehetne azt mondani – de ez elég erős ferdítés lenne –, hogy ilyen szempontból a tudomány nem sokban különbözik a vallástól. Sok vallási kérdést lehet tárgyalni a Bibliából levezetve, pl. hogy bűn-e a homoszexualitás, a fogamzásgátlás, a vasárnapi – más vallási irányzatokban pénteki, szombati – életmentés céljából végzett munkavégzés. Nota bene a teológiai viták erősen az arisztotelészi logika mentén zajlanak, csak az „axiómái” olyanok, amelyek azért megkérdőjelezhetőek, pl. hogy Isten létezik, vagy a Biblia Isten által ihletett mű. A tudomány annyiban más, hogy az axiómái valóban triviálisak. Azt a kijelentést, hogy „az egész nagyobb, mint a része”, vagy „egyenlő dolgok kétszeresei is egyenlőek”, azt épeszű ember nem kérdőjelezi meg, legalábbis jóval kevesebben, mint azt, hogy Isten létezik, vagy a Biblia Isten által ihletett mű. A tudomány axiómái olyan szintű napi tapasztalatokra épülnek, amelyeknek az ellentétét elégé nehéz lenne elvi szinten is felvetni, pl. hogy „az egész kisebb, mint a része”. Bizonyítani ugyan nem tudjuk, de magától értődik, evidens, hogy ez nem lehet igaz.

" A tudomány axiómái olyan szintű napi tapasztalatokra épülnek, amelyeknek az ellentétét elégé nehéz lenne elvi szinten is felvetni, pl. hogy „az egész kisebb, mint a része”. Bizonyítani ugyan nem tudjuk, de magától értődik, evidens, hogy ez nem lehet igaz."

Azért van egy lényeges különbség még a tudomány javára.

Az, hogy ugyan tényleg nem bizonyított (nem bizonyítható) és triviális axiómákra épít, de TÉNYLEG csak a bizonyíthatóság hiánya esetén.

A vallások pedig axiómaként kezelnek hitelesen cáfolható dolgokat is.

A teremtő létezése vagy nem létezése egy jó axióma, tehát a hit önmagában nem cáfolható, támadható.

De ha a vallás erre ráépítkezik hamis tényszerűségekkel, az már elsántít az iránytól.

"...az ellentétét elégé nehéz lenne elvi szinten is felvetni, pl. hogy „az egész kisebb, mint a része”. Bizonyítani ugyan nem tudjuk, de magától értődik, evidens, hogy ez nem lehet igaz."

Mondjuk ezt pont lehet bizonyítani; egyfelől triviális, hogy a 0 (semmi) része szintén 0 (semmi), és nem kaptunk kevesebb semmit az osztással.

Másfelől tegyük fel, hogy van olyan x, amelyre

x<x/2 fennáll. Rendezés után x<0 adódik, tehát a negatív számok halmazán máris nem igaz a felvetés.

Persze érthető, kimondatlanul is, hogy az állítás "létező" dolgokra vonatkozik, és bár a -6 forintról -3 forintra változtatott vagyonra sem azt mondjuk, hogy gazdagabb lettem (több lett a pénzem), hanem hogy az adósságom csökkent, tehát az egész 6 forint adósságom lett kevesebb.

Egyébként eszembe jutott egy tréfás történet ezzel kapcsolatban (sajnos nem találtam a neten, így leírom):

Egy egyetemen az egyik vizsga alkalmával azt kellett leírni, hogy hogyan bizonyítható be, hogy egy adott szék nem létezik. Mindenki törte a fejét, több oldalt írt, de az egyik vizsgázó 10 perc alatt kész volt, és be is adta a dolgozatát.

Másnap már ki is hirdették az eredményeket, és a legjobban a 10 percet dolgozó hallgatónak sikerült. Esszéjében ez állt:

"Milyen szék?"

> Mondjuk ezt pont lehet bizonyítani; egyfelől triviális, hogy a 0 (semmi) része szintén 0 (semmi), és nem kaptunk kevesebb semmit az osztással.

Euklidesz axiómái nem aritmetikai, hanem geometriai természetűek. Ha aritmetikára akarjuk fordítani, azt kellene belátni, hogy:

∀x,y,z (x>y+z) | x,y,z∈ℤ⁺

Nyilván ez pl. a Peano-axiómarendszerben nem axióma, hanem az axiómákból levezethető, bizonyítható állítás, mert az aritmetikai axiómák más természetűek.

Geometriai szempontból Eukleidész csak annyit mondott, hogy ha fogsz egy síkidomot, szakaszt, szöget vagy valami hasonlót, mint egészet, és kiveszed egy valódi részét úgy, hogy egy másik rész ebbe a kivett részbe nem, de az egészbe beletartozik, akkor a kivett rész kisebb lesz az egésznél. És mivel a geometriai építőkövek alapvetően olyan természetűek, hogy számszerűsítve határozottan pozitív értéket adnak, a nulla, illetve a negatív számok nem játszanak, ha a dolgot aritmetikára akarjuk fordítani. Szemantikai, definitív kérdés persze, de itt nincs 0 hosszúságú szakasz, mert az nem szakasz, hanem pont. Nincs negatív hosszúságú szakasz sem.

axiómái olyan szintű napi tapasztalatokra épülnek, amelyeknek az ellentétét elégé nehéz lenne elvi szinten is felvetni, pl. hogy „az egész kisebb, mint a része”. Bizonyítani ugyan nem tudjuk, de magától értődik, evidens, hogy ez nem lehet igaz.

Erről van egy érdekes matematika meglátás, Trip to Infinity C. műben, aminek az a lényege, hogy matematikai szempontból létezik olyan térbeli alakzat, amiben a belső térfogatánál nagyobb térfogatú tárgy létezik a belsejében.

Amikor a matematikus a kezében fogja a reprezentációt ami egy golyó, csak annyit tud mondani, hogy nem tudja elmagyarázni hogyan lehetséges, de papíron a matematika tökéletesen leírja.