Azt be lehet bizonyítani, hogy nem lehet bizonyítani?

Hogy mindenki értse; a kérdező arra kíváncsi, hogy egy adott állításról, amelyről nem tudjuk, hogy igaz-e vagy sem, meg lehet-e azt mutatni, hogy maga az állítás bizonyítható-e vagy sem. Például; a matematikában a mai napig nyitott kérdés, hogy végtelen sok Mersenne-prím létezik-e vagy sem. A kérdező nem arra kíváncsi, hogy az állítást hogyan lehet belátni/cáfolni, hanem hogy egyáltalán lehet-e. Tehát a kérdező közvetetten arra kíváncsi, hogy egy nyitott kérdés örökre nyitott marad-e, vagy hogy van-e rá esély, hogy egyszer bizonyítást nyerhet.

Gondolom Gödel teljességi és nem teljességi tételei ihlették a kérdést.

Éppen Gödel tételei a bizonyíték arra, hogy lehetséges ilyen.

De ebből általánosítani nem lehet.

Tényleg csak akkor van értelme a kérdésnek, ha konkretizáljuk, miről van szó.

Igen, Kurt Gödel nemteljességi tételei jutnak eszembe nekem is.

Dióhéjban megpróbálom összefoglalni a kontinuumhipotézist. Vannak végtelen halmazok. Pl. a természetes számok halmaza, racionális számok halmaza, valós számok halmaza. Georg Cantor jött rá, hogy az ilyen végtelen halmazok számossága nem feltétlenül azonos. Két végtelen halmaz számossága akkor azonos, ha az elemei összepárosíthatóak, az egyik halmaz minden elemének van egy és pontosan egy párja a másikban és viszont. Rájött arra, hogy az egész, de még a racionális számok számossága is megegyezik a természetes számok számosságával. Rájött viszont, hogy a valós számok halmazának számossága nagyobb, mint a természetes számok számossága.

A sejtés az volt, hogy a két számosság között nincs „köztes” számosság, hogy a valós számok halmazának nincs olyan részhalmaza, aminek a számossága a természetes számok halmazának számosságánál nagyobb, de a valós számok halmazának számosságánál kisebb. Ez volt az un. kontinuumhipotézis.

Ez bekerült az un. Hilbert-problémák körébe, méghozzá az első helyre. (David Hilbert 1900-ban tartott egy óriási jelentőségű előadást, ami a kor legfontosabb matematikai problémáit szedte sorba.) A probléma nem várt megoldást hozott. Kurt Gödel 1940-ben bebizonyította, hogy a kontinuumhipotézis nem cáfolható, Paul Cohen 1963-ban bebizonyította, hogy a hipotézis nem bizonyítható az un. Zermelo–Fraenkel axiómarendszerben. Találtunk egy olyan állítást – eldöntendő kérdésről van szó, tehát vagy igaz, vagy nem –, amiről tudjuk, hogy nem bizonyítható és nem cáfolható. Ezen állításnak – amit a kontinuumhipotézis megfogalmaz – sem a hozzávétele, sem a tagadása nem vezet ellentmondásra, ez egy független állítás, aminek az igazságértéke nem eldönthető.

De nézzük meg kicsit általánosabban, mert érzésem szerint a kérdésed arra vonatkozott, azt be lehet-e bizonyítani, hogy !semmit! sem lehet bebizonyítani, és nem arra, hogy azt be lehet-e bizonyítani, hogy !valamit! nem lehet bebizonyítani.

A bizonyítás mindig valamiféle meglévő ismeretből helyes következtetési módszer mentén levezetett új ismeret. A probléma az, hogy bizonyítani valamit csak igaznak vett kiinduló állításokból lehet. Ergo kellenek olyan állítások, amiket igaznak fogadunk el, bár az igaz voltukat nem tudjuk igazolni, bizonyítani. Két ilyen fogalom létezik a matematikában – nyilván más természettudományokra is ráhúzhatjuk ezeket –, az egyik az axióma. Az axióma olyan állítás, ami ugyan nem bizonyítható, de annyira evidensnek, triviálisan igaznak tartjuk, hogy eszünkbe sem jutna megkérdőjelezni ezek igaz voltát. Pl. az euklideszi axiómarendszerben ilyen axiómák vannak:

1. Ugyanazon dologgal egyenlő dolgok egymással is egyenlők.

2. Ha egyenlőkhöz egyenlőket adunk hozzá, akkor egyenlőket kapunk.

3. Ha egyenlőkből egyenlőket vonunk ki, akkor a maradékok is egyenlők.

4. Ha nem egyenlőkhöz egyenlőket adunk hozzá, akkor nem egyenlőket kapunk.

5. Ugyanazon dolog kétszeresei egyenlők egymással.

6. Ugyanazon dolog felerészei egyenlők egymással.

7. Egymásra illeszthető dolgok egymással egyenlők.

8. Az egész nagyobb, mint a része.

9. Két egyenes nem fog közre területet.

Ezek nem bizonyíthatóak, de magától értődőnek vesszük, hogy igazak.

A másik ilyen alapigazság a posztulátum. Az, aminek az igaz voltát akár meg is lehet kérdőjelezni, de mi kvázi követelményként tekintünk rá. Azt mondjuk, hogy a további bizonyításunk azokra az esetekre igazak, ahol ezek a követelmények fennállnak. Az euklideszi axiómarendszer posztulátumai ezek:

1. Bármely pontból bármely pontba lehessen egyenes vonalat húzni.

2. Véges egyenes vonalat folytonosan egyenes vonallá lehessen hosszabbítani.

3. Bármely középponttal és sugárral kört lehessen rajzolni.

4. Bármely két derékszög egyenlő legyen egymással.

5. Ha egy egyenes úgy metsz két másikat, hogy az egyoldalon fekvő belső szögek összege két derékszögnél kisebb, akkor a két másik egyenes találkozzon egymással, ha végtelenül meghosszabbítjuk őket, éspedig azon az oldalon, ahol a szögek összege kisebb két derékszögnél.

(Ez utóbbi posztulátum lecserélésével jöttek létre a nemeuklideszi geometriák, a Bolyai-féle hiperbolikus geometria.)

Néha a két dolog nehezen elválasztható, ma már inkább szoktunk úgy alapvetően csak axiómákról beszélni.

A fizika történetében volt néhány olyan pont, amit kvázi evidens igazságnak tartottunk, aztán mégis kiderült róla, hogy nem az. Pl. a klasszikus mechanika arra épített, hogy a tér és az idő egy minden megfigyelő számára azonos rendszer, hogy amit az egyik megfigyelő 2 méternek mér, azt a másik is annak fogja mérni. Magától értődő. Hát nem? Hát nem! Pont ez volt a speciális relativitáselmélet következménye, hogy kiderült, hogy ez az állítás nem igaz, csak a fénysebességhez képest kis sebességek esetén közelítőleg igaz (hibahatáron belül).

Tehát az axiómákkal azért érdemes vigyázni. De jobb híján csak azokból tudunk kiindulni. Illetve ettől még ott van Gödel második nemteljességi tétele, ami szerint egy axiómarendszerről nem lehet eldönteni, hogy ellentmondásmentes-e. Márpedig az ellentmondásmentesség fontos kritérium, mert ha nem áll fenn, akkor bármit és annak az ellenkezőjét is le lehet vezetni.

#8:

Ahogy a tudomány fejlődik, egyre több területen húzza ki a talpunk alól a biztos talajt.

Meg kell tanulni együtt élni a dologgal, hogy minden "általános igazságunk" csak egy bizonyos hatókörön belül igaz.

Ennek megfelelően fel kell adni az ultimatív igazságok keresését, be kell látni, hogy mindig is csak abban tudunk fejlődni, hogy egyre nagyobb halmazra igaz törvényszerűségeket találunk.

> Ennek megfelelően fel kell adni az ultimatív igazságok keresését

Viszont helyette bőven megfelel, ha evidenciákat keresünk, minél több evidenciát találunk ugyanarra, annál evidensebb lesz (nyilván). Persze nem szabad megfeledkezni, hogy ezek nem igazságok, csak evidenciaszámba menő dolgok. Pl. a fizika törvényei időben állandók? Pl. ma felfedezek egy jelenséget, hogy mondjuk azonos hőmérsékleten csökkentve a gáz térfogatát, azzal fordított arányban nő a nyomás. Van rá bizonyíték, hogy ez az összefüggés tegnap, tavaly, meg 200 éve is így volt? Nincs. Van rá bizonyíték, hogy ez holnapután is így lesz? Nincs. De minél többször látjuk működni ezt a törvényt különböző időpontokban, annál inkább készpénznek vehető, evidens, hogy a törvény időben állandó. Minél több ilyen törvénynél tapasztaljuk ezt az evidenciát, annál evidensebb lesz. Az más kérdés, hogy ha találunk valami furcsa jelenséget, ami nem passzol rá erre a feltárt összefüggésre, akkor nem szabad megfeledkezni arról sem, hogy az evidenciánk hibás, lehet az valamiféle peremfeltétel, ami adott körülmények között nem biztos, hogy fennáll.