Mi alapján állítjuk valamiről, hogy végtelen?

Most akkor a fogalomról beszélünk, vagy a példáról?

Ki mondta neked, hogy az univerzum végtelen? Egyátalán nem!

Ha végtelenről mint matematikai fogalomról, az meglehetősen régi. Egyidős a természetes számok fogalmával. Könyen belátható, hogy végtelen sok természetes szám van, bármelyik nagy természetes számhoz hozzáadhatunk még egyet. Ez a legkisebb végtelen számosság, a természetes számok halmazának tagjainak száma, héber alef betűvel (meg egy 0 indexel) szokás jelölni. Aránylag könyen bizonyítható ugyananyi egész szám van mint természetes szám, és ugyananyi tört. Ezek mind Alef0 számosságúak.

Egyel nagyobb számosságoc C-vel szokás jelölni (continuum-folytonosság). Ez a valós számok halmazának számossága. Ennyi pont van egy szakaszon, egy egyenesen, egy síkon, stb. C nagysága 2 Alef0-adik hatványa.

Vannak magasabb számosságú végtelenek is, de ez már elég kemény halmazelmélet.

Ha érdekel a téma, ajánlom ezt a könyvet:

[link]

Egy fejezete erről szól. De a többi is nagyon érdekes.

Lehet kicsit eltúloztam, hogy egyidős a természetes számokkal, de nem teljesen alaptalannul. Elég Archimédesz munkáira gondolni.

Ugyan gyakorlatban a miriád (10.000) volt a legnagyobb használatos szám, a Homok megszámlálásáról munkájában megmutatta, hogy tetszőlegesen nagy számokat lehet képezni.

Ugyan tagadta az infinitezimálisok (végtelen kicsi mégis nullánál nagyobb számok) létezését, mégis használta őket. A parabola területszámításánál tulajdonképpen végtelen sorokat alkalmazot. De mivel ezt nem tekintette korrekt módszernek (mert infinitezimálisok ugye nincsenek) a kapott eredmény helyességét más modszerrel bizonyította.

Végtelen az a mennyiség, ahol tudjuk, hogy nem lehet legnagyobb számot mondani rá (létezik még nagyobb) - ÉS nincsen határértéke sem. A teknős paradoxonban is végtelen a sorozat, de a határértéke véges (Akhilleusz utoléri a teknőst).

A világegyetem TÖMEGE és TÉRFOGATA VÉGES!!!

A benne húzható egyenes végtelen!

Ez pedig azért van, mert a tér görbül: előbb-utóbb a húzott egyenes vonal visszatér önmagába - mint egy lufin.

A számosságos bácsihoz csak annyit, hogy kontinuumhipotézis. Nem tudjuk, hogy c és alef0 között van-e valami. Azaz hogy alef1 egyenlő-e c-vel.

Amúgy a végtelen az a valami, ami minden számnál nagyobb, matematikában. Az univerzumot már megmagyarázták mások.

A számosságos bácsi vagyok! :)

Pontosabban rajtunk mólik, hogy van -e valami alefO és C közt. Halmazelméletben hasonló a kontinumhipotézis szerepe, mint geometriában a párhuzamossági axiómának.

Bármelyik változatot elfogadhatjuk igaznak, és elentmondásmentes deduktív rendszert építhetünk rá. Csak válosztásunktól függően más matematika lesz az eredmény.