Melyik az szám melynek a szorzata és az összege is -2-vel egyenlő?

ha a és b ezek a számok, akkor:

a=-1+gyök(3) és b=-1-gyök(3)

a+b=-2

a*b=-2

Számold ki.

Nem azért mondom, de ki volt az a csökkentett agyú, aki nullára pontozta a jó válaszokat, de nem írt megoldást?

Mondjuk eleve ez házi feladat. Ott lenne a helye.

Részletes kifejtés következik.

A két szám összege -2-vel egyenlő, tehát:

x + y = -2

A két szám szorzata is -2-vel egyenlő, tehát:

x * y = -2

Ahogy #3 is helyesen írta – csak x és y helyett a-t és b-t használt ismeretlenként –, ebből egy kétismeretlenes egyenletrendszert kaptunk:

x + y = -2

x * y = -2

Az egyikből fejezzük ki mondjuk y-t:

x + y = -2

y = -x - 2

Ezt helyettesítsük be a másik egyenletbe:

x * y = -2

x * (-x - 2) = -2

Bontsuk fel a zárójelet:

-x² - 2x = -2

Rendezzünk minden a bal oldalra:

-x² - 2x + 2 = 0

Ez egy másodfokú egyenlet, ahol a=-1, b=-2, c=2. Ezt kell behelyettesíteni a másodfokú egyenlet megoldóképletébe. Ha nem gond, ezt nem írom le részleteiben. Mindenesetre azt kapod, hogy:

x₁ = -1 + √3

x₂ = -1 - √3

Ebből visszahelyettesítve az (y = -x - 2) egyenletbe:

y₁ = -x₁ - 2 = -(-1 + √3) - 2 = 1 - √3 - 2 = -1 - √3

y₂ = -x₂ - 2 = -(-1 - √3) - 2 = 1 + √3 -2 = -1 + √3

Vegyük észre, hogy x₁ = y₂ és x₂ = y₁. Így egyetlen számpár van, amire a két feltétel teljesül:

x = -1 + √3

y = -1 - √3

Ellenőrizzünk:

x + y = (-1 + √3) - (-1 - √3) = -1 + √3 - 1 - √3 = -2

x * y = (-1 + √3) * (-1 - √3) = (-1)² + √3 - √3 - (√3)² = 1 - 3 = -2

~ ~ ~

Egyébként várható volt, hogy a két szám nem lesz azonos. Hiszen két szám szorzata csak akkor lehet negatív, ha az egyik szorzó pozitív, a másik negatív. Az összeadás és a szorzás is kommutatív művelet, így ha x-re két különböző értéket kapunk – egy pozitívat és egy negatívat –, akkor a két lehetséges x lesz amúgy a két keresett szám is egyben.