Matematika! A konvex négyszöget az átlói négy olyan háromszögre osztják, amelyek területe egész szám. Bizonyítsd be, hogy e négy szám szorzata négyzetszám!?

Az átlók legyenek: e,f.

e = e1 + e2

f = f1 + f2, megfelelő szakaszokkal (a metszéspontnál elválasztva).

Minden háromszög területe felírható ezek, valamint az átló által bezárt szög szinusza segítségével. Felhasználjuk, hogy sin(α) = sin(180° - α), valamint, hogy az egy átlón fekvő szögek összege 180°. Ekkor

T1 = f1*e1*sin(α)/2

T2 = f1*e2*sin(α)/2

T3 = f2*e1*sin(α)/2

T4 = f2*e1*sin(α)/2

Ezek mind egészek. Összeszorozva őket:

T1*T2*T3*T4 = (f1^2*e1^2*f2^2*e2^2*sin(α)^4)/16 = (e1*f1*sin(α)/2)^2*(e2*f2*sin(α)/2)^2 = T1^2*T4^2 = (T1*T4)^2. QED

(Két négyzetszám szorzata mindig négyzetszám.)

Számomra az #1 válasz sokkal érthetőbb.

Benne van a gondolat, de nincs benne sok zaj plusszban.

Érdekes, hogy sokkal kevesebb hasznosságot kapott, mint a #2.