Ha x valós szám, akkor mi cos (cos (cos (. cos (x) ) ) )? És ha x tart végtelenbe? Végtelen darab cos függvényt ágyazunk egybe.

Akkor az eredmény az x=cos(x) egyenlet megoldása lesz. Ez az egyenlet közelítő módszerekel megoldható.

Ha a gépi számológépben kiválasztasz egy számot, és ráereszted a fenti függvényt (tehát mindig veszed az eredmény koszinuszát), akkor azt fogod látni, hogy egy idő után az eredmény nem változik. Na, az lesz az általad keresett szám (közelítő értéke).

Nyilván ez nem egy precíz bizonyítás, de kiindulási alapnak elég.

Érdekes kérdés, hogy ha x->végtelen, akkor mi történik, mivel a cos(x)-nek nincs határértéke a végtelenben. Azonban itt nem is ez a kérdés, hanem hogy a cos(cos(...cos(x)..)) függvénynek mi a határfüggvénye (azt látjuk, hogy f(x)=c alakú, ahol c konstans), és ennek kell venni a határértékét x->végtelenre, ennek pedig a határértéke már c lesz.

Ez két kérdés. Azonban az eredmény egyféle.

A cosinus függvény periodikus és értéktartománya [-1,1]. Ebből következik, hogy ez a sorozat divergens, mindig [-1,1] tartományba fog esni az értéke, de nem konvergál egyetlen számhoz sem. Tehát akárhány függvényt ágyazol be, akár mekkora x értéket választasz, az eredmény -1 és 1 közé esik és soha nem lesz olyan szám, hogy ha többet ágyazol, vagy nagyobb x-et veszel, akkor már mindig egy Y érték közelében lesz.

"A bizonyítás nem próbálgatással működik."

Mondta bárki is, hogy így lenne? ...

Baromira jó lenne, hogyha a lepontozgatás és leugatás helyett konstruktív hozzászólások is születnének, ha már mindenki annyira okos... Speciel engem is érdekelne, hogy hogy megy ennek a bizonyítása (és az is, hogy mi a probléma az általam leírtakkal, mert ezek szerint van...).

Igen mondta. Feltehetően te. Mikor a számológépekről értekeztél.

Ami a lepontozást illeti, abban semmi meglepő, az agy így működik. Nincs annál utálatosabb dolog a világon, mint mikor nem értjük a másikat. Minél kevésbé értjük, annál jobban utáljuk. Hisz gondolj bele: a másik a saját kicsinységünket mutatja be nekünk.

Ami a bizonyítást illeti, az itt nem megy, nem adottak a feltételek. Azonban gondolkodj el a következőkön.

A cos(x) függvény egy periodikus függvény és minden számra értelmezett. Határértéke a végtelenben nincs, mert ha lenne, az azt jelentené, hogy tudsz mondani egy olyan x0 értéket, amelynél ha csupa nagyobbat vennél, akkor a cos(x) értéke egy előre megadott intervallumban lenne. Csakhogy a cos(x) mindig -1 és +1 között mozog.

Na most, ha cos(cos(x))-ről van szó, a belső cos(x) értékei [-1,1] intervallumban lehetnek. Ábrázold ezen szakaszon a cos(x) függvényt és nyertél. Láthatod az összes lehetséges függvényértéket. Ezután a legbelső x helyére tehetsz cos(x)-et, a helyzet változatlan. Addig ismételheted, amíg csak akarod. NEM egyetlen (számítógépes) példán, hanem az ÖSSZES létezőn. A bizonyítás így megy!

#6, ne vedd magadra, velem is mindig kötekedik ez a válaszoló, ha valami nem megy neki. Bár most a számológép bökködése épp ment neki, igaz erre egy óvodás is képes lenne.

Érdemes lett volna meggondolni azt is, hogy ilyenkor gyakorlatilag egy Banach-féle fixpont iteráció történik...

"Igen mondta. Feltehetően te. Mikor a számológépekről értekeztél."

Miért van az, hogy a roppant okosság fordított arányosságban áll sokaknál a szövegértéssel ezen az oldalon?...

Ha esetleg nem vetted volna észre, gyengébbek kedvéért még azt is odaírtam, hogy

[Nyilván ez nem egy precíz bizonyítás, de kiindulási alapnak elég.],

erre megkapom, hogy próbálgatással nem lehet bizonyítani...

A bizonyítás sok esetben úgy megy, hogy valamit megsejtünk, megsejteni meg ugye próbálgatással lehet (ha más ötletünk nincs, persze). Például azt nem mondhatjuk, hogy a fenti függvény mindenhol 1-et vesz fel értéknek, mert egyértelműen kiderül a "próbálgatásból", hogy nagyon nem így van. Azt lehet megsejteni (és ez még mindig csak sejtés, aztán vagy jó, vagy nem), hogy valami konstans értékhez konvergál. Aztán be lehet látni, vagy lehet cáfolni.

"NEM egyetlen (számítógépes) példán, hanem az ÖSSZES létezőn. A bizonyítás így megy!"

Amikor azt írtam, hogy [Ha a gépi számológépben kiválasztasz egy számot, ...], nyilván úgy értettem, hogy tetszőleges valós számot írhat x helyére, és annyit, amennyit csak akar, a számológép mindig meg fog állni egy idő után, és ugyanazon az értéken. Ha a kérdező beéri ezzel a "tapasztalati" meglátással, akkor kész is van a feladat. Nyilván a kérdező csak kíváncsiskodik, nem emberek életének százerei múlnak ezen a kérdésen, ehhez bőven elég az "óvódás módjára nyomkodjuk a számológépet"-történet. Ha ennél többet akar megtudni, akkor kérdez még. Mivelhogy leírtam, hogy én nem tudom a precíz bizonyítást, de engem is érdekelne, hogy hogyan megy, ezért arra várunk (várok), hogy valaki bebizonyítsa. De nem, jön az oltogatás, hogy ezt nem így kell...

"#6, ne vedd magadra, velem is mindig kötekedik ez a válaszoló, ha valami nem megy neki. Bár most a számológép bökködése épp ment neki, igaz erre egy óvodás is képes lenne."

Tudnám díjazni, hogyha a hazugságok gyártását leállítanád. Csak ebben a két sorban két hazugságot és egy sértést fogalmaztál meg, ráadásul mindegyiket alaptalanul... Arról nem is beszélve, hogy te vagy az, aki állandóan kötekszik, nem én. Ha szóltam is valamiért, az a megengedhetetlen stílusod volt...

Arról nem is beszélve, hogy érdekes módon azon nem akadsz fenn, hogy a kedves #6-os szerint a fenti függvény megegyezik a cos(cos(x)) függvénnyel, ami egyértelmű baromság. De, ha én írtam volna, már keresztre lennék feszítve...

"Miért van az, hogy a roppant okosság fordított arányosságban áll sokaknál a szövegértéssel ezen az oldalon?..."

Arra nem is gondoltál, hogy esetleg neked nem megy a szövegértés?

"Arról nem is beszélve, hogy érdekes módon azon nem akadsz fenn, hogy a kedves #6-os szerint a fenti függvény megegyezik a cos(cos(x)) függvénnyel, ami egyértelmű baromság."

Látom, az algoritmus lépéseivel sem vagy tisztában. Vagyis tényleg nem érted, miért működik az óvodás nyomkodásos módszer. Pedig ez a konvergencia szempontjából is lényeges. Javaslom nézz utána a Banach-féle fixpont tételnek, mert látszik fogalmad nincs róla. És persze nézd meg a tétel bizonyítását is, mert ott nyer értelmet egy függvény kontrakciójának a mértéke.

"Arra nem is gondoltál, hogy esetleg neked nem megy a szövegértés?"

Nem, nem gondoltam rá. Mivel ez nincs így. De talán nem neked kellene kiselőadást tartanod szövegértésből, azt hiszem...

"Látom, az algoritmus lépéseivel sem vagy tisztában. [...] Javaslom nézz utána a Banach-féle fixpont tételnek, mert látszik fogalmad nincs róla."

Én meg azt látom, hogy a lenéző hozzáállásodon nem nagyon fogsz javítani...

Azért az érdekes, hogy valaki leírja, hogy cos(cos(x))=cos (cos (cos (. cos (x) ) ) ), ami nem igaz, de azért neki van igaza...

"Vagyis tényleg nem érted, miért működik az óvodás nyomkodásos módszer."

És ez olyan nagy probléma? ... Mondjuk igen, neked minden nagy probléma...