Van, ami kommutatív, de nem asszociatív?

Nincs, és azért nincs, mert a zárójelezés valójában csak az elsőbbséget határozza meg, ami a kommutativitás miatt „előre hozható”;

vegyük a # műveletet, ami kommutatív, tehát a#b = b#a minden a;b-re.

Most vegyük az a#b#c műveleti sort. Azt kell belátni, hogy ez a#(b#c)-vel egyezik meg. A kommutativitás miatt a#(b#c)=(b#c)#a, itt pedig a zárójel elhagyható, mivel ígyis-úgyis a b#c művelettel kezdenénk. Innentől kezdve a b#c#a műveleti sorból nem nehéz a#b#c műveleti sort létrehozni a kommutativitást felhasználva.

Tehát kimondhatjuk, hogy ha egy művelet kommutatív, akkor biztosan asszociatív is.

Olyan művelet van, ami asszociatív, de nem kommutatív. Ilyen pl. a mátrixszorzás:

A legtöbb esetben: A×B ≠ B×A

Viszont: (A×B)×C = A×(B×C)

Nézzük meg, lehet-e olyan művelet, ami kommutatív, de nem asszociatív. Használjuk műveleti jelnek a @ jelet. Nézzük a következő kifejezést:

a @ b @ c

Mivel nincs egyéb precedencia, balról jobbra végezzük el a műveleteket (lehetne jobbról balra is, az sem változtatna a helyzeten). Tehát:

a @ b @ c = (a @ b) @ c

Ha a művelet szűkebben értelmezve kommutatív, azaz kétváltozós művelet esetén az operandusok felcserélhetőek, akkor teljesül rá az általános kommutativitás is, azaz bármilyen számú operandus esetén a művelet eredménye független az operandusok sorrendjétől. Ezért:

a @ b @ c = b @ c @ a

Mivel a műveleteket továbbra is balról jobbra végezzük:

b @ c @ a = (b @ c) @ a

Viszont a kommutativitás fennáll a zárójelen kívüli részre is, ezért:

(b @ c) @ a = a @ (b @ c)

Tehát egyedül a kommutativitást feltételezve eljutottunk oda, hogy:

a @ b @ c = (a @ b) @ c = a @ (b @ c)

Következtetés: Ha egy művelet kommutatív, akkor szükségszerűen asszociatív is. Több operandusra hasonló módon kiterjeszthető a dolog.

Mivel ketten is bizonyítottuk, hogy nincs ilyen művelet, ezért valószínű, hogy amit megadtál, az nem jó.

De mutasd meg, hogy arra hogyan valósul meg, hogy kommutatív, mégsem asszociatív, és hinni fogunk neked.

#1: Nos, nem igazán tudtam elsőre értelmezni a válaszod, de most esett le, hogy te ezt a sin(a)+sin(b) -t szántad egy kétváltozós művelet definíciójának.

@(a,b) = (sin(a) + sin(b))

Ez a művelet a szigorú definíció szerint kommutatív:

a @ b = b @ a

Viszont nem teljesül rá az általános kommutativitás:

a[1], a[2], …, a[n] esetén a[1] @ a[2] @ … @ a[n] művelet eredménye nem független az operandusok sorrendjétől.

Azaz:

a @ b @ c ≠ b @ c @ a

sin( sin(a)+sin(b) ) + sin(c) ≠ sin( sin(b)+sin(c) ) + sin(a)

~ ~ ~

Hiába, nem nagyon foglalkoztam a matematika ezen ágával, kissé átgondolatlanul válaszoltam. Ott a hiba az okfejtésemben, hogy a kommutativitásból csak akkor következik az általános kommutativitás, ha félcsoportról van szó, viszont definitíve félcsoportnak meg az asszociatív grupoidokat nevezzük, tehát ha nem is direkt módon, de áttételesen, rejtett módon feltételeztem, hogy a művelet asszociatív, így nem csoda, ha arra jutottam, hogy a művelet asszociatív. :-)

Tehát ezennel megkövetlek, felpontozlak, és hamut szórok a fejemre. Csak azt tudom mondani, ami Isten utolsó üzenete volt lángoló betűkkel egy hegy oldalába írva a Galaxis útikalauz stopposoknak című könyvben: „Elnézést az okozott kellemetlenségekért.”