Melyik a legkisebb ilyen szám?

Nem biztos, hogy jól van ez a kérdés megfogalmazva. Nyilván, ha n∈ℝ, akkor pl. n=0.1 esetén az általad megadott intervallum ] 0,1² ; 1,1² [ , azaz ] 0,01 ; 1,21 [ , márpedig a kettő között nincs egy prímszám sem.

De n∈ℕ esetén is n=1 esetében ] 1 ; 2 [ intervallumról van szó, márpedig 1 és 2 között (azaz nyitott intervallumban) nincs prímszám. Ha zárt intervallumról van szó, akkor meg x-nek minimum 2-nek kell lennie.

Úgy érdekesebb lenne a feladat, ha:

1 < x ≤ 2

és

[n^x ; (n+1)^x] intervallumban kell lennie prímnek, ahol n∈ℕ és n>2, vagy n∈ℝ és n>1

De előbb inkább fogalmazd meg jól a kérdést.

> n-nel a természetes számokat szoktuk jelölni, x-szel a valós számokat.

Már, ha valaki következetes, és ismeri ezt a szokást. Én meg ezt ugye arról, hogy te ismered-e, nem tudok semmit. :-)

> minden n>0 esetén

> és n>=1 esetén

Szerintem ezt írtad félre az eredeti kérdésben, ami miatt gyanús lett a dolog.

~ ~ ~

Mindenesetre amennyire én értek hozzá, a prímszámok eloszlásának kérdéséről még igencsak a felszínt kapargatjuk. Az, hogy két egymást követő négyzetszám között mindig van egy prímszám, az csak sejtés. Az már bizonyított, hogy két egymást követő köbszám között kell lennie prímszámnak.

> Ugyanis x=2 esetén tudjuk hogy van - bár jelenleg még nincs rá bizonyítás, - de biztos kisebb x esetén is igaz.

Pont ez a probléma. Nem tudjuk, hanem tudni véljük, az eddig megismert prímszámok esetén ez így volt. De nem tudjuk, hogy nincs-e akár jóval nagyobb prímszámok között akkora hézag, amiben két egymást követő négyzetszám is szerepel. Erről csak valószínűségek, határértékek szólnak, amiket konkrét intervallumokra nem lehet csak úgy ráhúzni.

Azt ugye tudjuk, hogy prímszámok közötti hézag és a hézag alsó határát adó prím hányadosa a nullához konvergál, tehát minél nagyobb prímeket nézünk, !valószínű!, annál kisebb lesz egy hézag és a prím aránya. Ettől az tűnik logikusnak, hogy nagyon nagy prímek esetén már igaz lesz az a sejtés, hogy két négyzetszám között lesz prímszám, kis prímek esetén meg végig tudjuk nézni őket. Ezért erős ez a sejtés.

Mit lehet csinálni? Végigszántai a kisebb prímeken, és megnézni, és konkrét x-eket számolgatni. Ezzel lehet adni egy becslést, de ez koránt sem bizonyító erejű.

Ugye a kérdésed megfordítása, hogy melyik az a legkisebb olyan 1-nél nagyobb valós x, aminél bármely nemnegatív egész n-re igaz, hogy:

∃p | n^x ≤ p ≤ (n+1)^x , p∈ℙ

Itt jó ötlet lehet venni az egyenlőtlenség x alapú logaritmusát:

n ≤ log_{x}(p) ≤ n+1

n ≤ ln(p) / ln(x) ≤ n+1

Ha n valós lenne, relatíve egyszerűbb dolgunk lenne, mert a prímhézagok hosszának logaritmusának maximumát kellene keresni, abból lehetne számolni konkrét x-eket. Én innen indulnék el, de most hirtelen nem tudok olyan forrásról, ami ezzel foglalkozott volna.