Milyen legkisebb n esetén igaz?

Ennyire már nem vagyok jó matekos, mindenesetre hirtelen nekifutásból az első kettőhöz tudok hozzászólni.

Az első kettőnél egy x^x forma van. Próbáljuk a googolplexet is ilyen formába hozni, ahol úgy írjuk fel azt, hogy a hatvány alapja is és kitevője is ugyanaz a szám.

(10^k)^(10^k) = googolplex = 10^(10^100)

A hatványozás azonosságai miatt:

(10^k)^(10^k) = 10^(k*10^k)

Ebből kapunk egy egyenletet:

k * 10^k = 10^100

Ezt elvileg egy Lambert-féle W függvény segítségével ki lehet számolni, mindenesetre k ≈ 98,0087330533612 (intervallumfelezéses módszerrel kapott eredmény).

Ekkor ugye:

n! ^ n! > (10^k) ^ (10^k)

F[n] ^ F[n] > (10^k) ^ (10^k)

Ergo tehát a következőket keressük:

n! > 10^98,0087330533612

F[n] > 10^98,0087330533612

Az első esetben a Stirling-formulát lehet használni, abból kiszámolható n. A második esetben a Binet-formula tud hasznos lenni. Viszont különösképpen már nincs kedvem ahhoz, hogy végig is számoljam. :-)